Theorem ply1tmcl 22592

Description: Closure of the expression for a univariate polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1tmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1tmcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1tmcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1tmcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1tmcl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1tmcl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1tmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1tmcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1tmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1tmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1lmod 22570	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
3	2	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
4		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5		ply1tmcl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		ply1tmcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		ply1tmcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		ply1tmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	1, 5, 6, 7, 8	ply1moncl 22591	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
11	1	ply1sca2 22572	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
12		ply1tmcl.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		baseid 17391	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14		ply1tmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	13, 14	strfvi 17369	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
16	8, 11, 12, 15	lmodvscl 21154	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
17	3, 4, 10, 16	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   I cid 5544  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕ₀cn0 12607  ndxcnx 17372  Basecbs 17388   ·_𝑠 cvsca 17433  ._gcmg 19278  mulGrpcmgp 20361  Ringcrg 20460  LModclmod 21136  var₁cv1 22495  Poly₁cpl1 22496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-psr 22218  df-mvr 22219  df-mpl 22220  df-opsr 22222  df-psr1 22499  df-vr1 22500  df-ply1 22501

This theorem is used by:  coe1tm  22593  coe1tmmul2  22596  coe1tmmul  22597  gsumsmonply1  22626  gsummoncoe1  22627  pmatcollpw1  23095  pmatcollpw2  23097  pmatcollpw  23100  pmatcollpwscmatlem2  23109  pm2mpcl  23116  mp2pm2mplem2  23126  mp2pm2mplem4  23128  mp2pm2mp  23130  pm2mpghmlem1  23132  deg1tmle  26437  deg1tm  26438  ply1divex  26456