Theorem ply1tmcl 21515

Description: Closure of the expression for a univariate polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1tmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1tmcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1tmcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1tmcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1tmcl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1tmcl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1tmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1tmcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1tmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1tmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1lmod 21495	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
3	2	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
4		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5		ply1tmcl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		ply1tmcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		ply1tmcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		ply1tmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	1, 5, 6, 7, 8	ply1moncl 21514	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
11	1	ply1sca2 21497	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
12		ply1tmcl.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		baseid 16985	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
14		ply1tmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	13, 14	strfvi 16961	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
16	8, 11, 12, 15	lmodvscl 20212	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
17	3, 4, 10, 16	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   I cid 5506  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ℕ₀cn0 12306  ndxcnx 16964  Basecbs 16982   ·_𝑠 cvsca 17036  ._gcmg 18769  mulGrpcmgp 19788  Ringcrg 19851  LModclmod 20195  var₁cv1 21419  Poly₁cpl1 21420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-ofr 7574  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-hash 14118  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-tset 17051  df-ple 17052  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-mhm 18500  df-submnd 18501  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-sbg 18651  df-mulg 18770  df-subg 18821  df-ghm 18901  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-subrg 20094  df-lmod 20197  df-lss 20266  df-psr 21184  df-mvr 21185  df-mpl 21186  df-opsr 21188  df-psr1 21423  df-vr1 21424  df-ply1 21425

This theorem is referenced by:  coe1tm  21516  coe1tmmul2  21519  coe1tmmul  21520  gsumsmonply1  21546  gsummoncoe1  21547  pmatcollpw1  21997  pmatcollpw2  21999  pmatcollpw  22002  pmatcollpwscmatlem2  22011  pm2mpcl  22018  mp2pm2mplem2  22028  mp2pm2mplem4  22030  mp2pm2mp  22032  pm2mpghmlem1  22034  deg1tmle  25354  deg1tm  25355  ply1divex  25373