Theorem ply1tmcl 20159

Description: Closure of the expression for a univariate polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1tmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1tmcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1tmcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1tmcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1tmcl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1tmcl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1tmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1tmcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1tmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1tmcl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1lmod 20139	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
3	2	3ad2ant1 1114	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
4		simp2 1118	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5		ply1tmcl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		ply1tmcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		ply1tmcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		ply1tmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	1, 5, 6, 7, 8	ply1moncl 20158	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
10	9	3adant2 1112	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
11	1	ply1sca2 20141	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
12		ply1tmcl.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		df-base 16344	. . . 4 ⊢ Base = Slot 1
14		ply1tmcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	13, 14	strfvi 16392	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘( I ‘𝑅))
16	8, 11, 12, 15	lmodvscl 19386	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
17	3, 4, 10, 16	syl3anc 1352	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   I cid 5308  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  1c1 10335  ℕ₀cn0 11706  Basecbs 16338   ·_𝑠 cvsca 16424  ._gcmg 18024  mulGrpcmgp 18975  Ringcrg 19033  LModclmod 19369  var₁cv1 20063  Poly₁cpl1 20064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-ofr 7227  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-hash 13505  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-tset 16439  df-ple 16440  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-mhm 17816  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-mulg 18025  df-subg 18073  df-ghm 18140  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-subrg 19269  df-lmod 19371  df-lss 19439  df-psr 19863  df-mvr 19864  df-mpl 19865  df-opsr 19867  df-psr1 20067  df-vr1 20068  df-ply1 20069

This theorem is referenced by:  coe1tm  20160  coe1tmmul2  20163  coe1tmmul  20164  gsumsmonply1  20190  gsummoncoe1  20191  pmatcollpw1  21104  pmatcollpw2  21106  pmatcollpw  21109  pmatcollpwscmatlem2  21118  pm2mpcl  21125  mp2pm2mplem2  21135  mp2pm2mplem4  21137  mp2pm2mp  21139  pm2mpghmlem1  21141  deg1tmle  24430  deg1tm  24431  ply1divex  24449