Theorem prds0g 18853

Description: The identity in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmndd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)

Assertion

Ref	Expression
prds0g	⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem prds0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmndd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsmndd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsmndd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsmndd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	prdsidlem 18851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
12	1, 6, 4, 8	prdsmndd 18852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13	2, 3	mndid 18824	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
15	2, 11, 3, 14	ismgmid 18741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅)))
16	10, 15	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅))
17	16	eqcomd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  0_gc0g 17510  X_scprds 17516  Mndcmnd 18814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-prds 17518  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815

This theorem is used by:  pws0g  18855  prdspjmhm  18912  prdsgrpd  19140  prdsinvgd  19141  prds1  20430  dsmm0cl  21920