Theorem prds0g 18698

Description: The identity in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmndd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)

Assertion

Ref	Expression
prds0g	⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem prds0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmndd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsmndd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsmndd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsmndd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	prdsidlem 18696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
12	1, 6, 4, 8	prdsmndd 18697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13	2, 3	mndid 18671	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
15	2, 11, 3, 14	ismgmid 18592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅)))
16	10, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅))
17	16	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  X_scprds 17408  Mndcmnd 18661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662

This theorem is referenced by:  pws0g  18700  prdspjmhm  18756  prdsgrpd  18982  prdsinvgd  18983  prds1  20232  dsmm0cl  21649