Theorem prds0g 18696

Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsmndd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsmndd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)

Assertion

Ref	Expression
prds0g	⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem prds0g

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsmndd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		prdsmndd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		prdsmndd.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7	6	elexd 3494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		prdsmndd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
10	1, 2, 3, 5, 7, 8, 9	prdsidlem 18694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
12	1, 6, 4, 8	prdsmndd 18695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
13	2, 3	mndid 18672	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = 𝑏))
15	2, 11, 3, 14	ismgmid 18593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g ∘ 𝑅)(+g‘𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g‘𝑌)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅)))
16	10, 15	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g ∘ 𝑅))
17	16	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → (0g ∘ 𝑅) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  0_gc0g 17392  X_scprds 17398  Mndcmnd 18662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663

This theorem is referenced by:  pws0g  18698  prdspjmhm  18749  prdsgrpd  18973  prdsinvgd  18974  prds1  20215  dsmm0cl  21518