MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prds0g 18728
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmndd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
Assertion
Ref Expression
prds0g (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem prds0g
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmndd.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
4 prdsmndd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
54elexd 3492 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
6 prdsmndd.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
76elexd 3492 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8 prdsmndd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
9 eqid 2728 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9prdsidlem 18726 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
121, 6, 4, 8prdsmndd 18727 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
132, 3mndid 18704 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Mnd β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = 𝑏))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = 𝑏))
152, 11, 3, 14ismgmid 18625 . . 3 (πœ‘ β†’ (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0gβ€˜π‘Œ) = (0g ∘ 𝑅)))
1610, 15mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0g ∘ 𝑅))
1716eqcomd 2734 1 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  0gc0g 17421  Xscprds 17427  Mndcmnd 18694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-prds 17429  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695
This theorem is referenced by:  pws0g  18730  prdspjmhm  18781  prdsgrpd  19006  prdsinvgd  19007  prds1  20259  dsmm0cl  21674
  Copyright terms: Public domain W3C validator