MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prds0g 18696
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsmndd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsmndd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
Assertion
Ref Expression
prds0g (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))

Proof of Theorem prds0g
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmndd.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3 eqid 2731 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 prdsmndd.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
54elexd 3494 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
6 prdsmndd.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
76elexd 3494 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
8 prdsmndd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
9 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9prdsidlem 18694 . . 3 (𝜑 → ((0g𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g𝑅)(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)(0g𝑅)) = 𝑏)))
11 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
121, 6, 4, 8prdsmndd 18695 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
132, 3mndid 18672 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)𝑎) = 𝑏))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)𝑎) = 𝑏))
152, 11, 3, 14ismgmid 18593 . . 3 (𝜑 → (((0g𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g𝑅)(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)(0g𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g𝑌) = (0g𝑅)))
1610, 15mpbid 231 . 2 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g𝑅))
1716eqcomd 2737 1 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  ccom 5680  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Xscprds 17398  Mndcmnd 18662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663
This theorem is referenced by:  pws0g  18698  prdspjmhm  18749  prdsgrpd  18973  prdsinvgd  18974  prds1  20215  dsmm0cl  21518
  Copyright terms: Public domain W3C validator