Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prds0g 17710
 Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsmndd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsmndd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
Assertion
Ref Expression
prds0g (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))

Proof of Theorem prds0g
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmndd.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3 eqid 2778 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 prdsmndd.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
54elexd 3416 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
6 prdsmndd.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
76elexd 3416 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
8 prdsmndd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
9 eqid 2778 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9prdsidlem 17708 . . 3 (𝜑 → ((0g𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g𝑅)(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)(0g𝑅)) = 𝑏)))
11 eqid 2778 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
121, 6, 4, 8prdsmndd 17709 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
132, 3mndid 17689 . . . . 5 (𝑌 ∈ Mnd → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)𝑎) = 𝑏))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)((𝑎(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)𝑎) = 𝑏))
152, 11, 3, 14ismgmid 17650 . . 3 (𝜑 → (((0g𝑅) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ∀𝑏 ∈ (Base‘𝑌)(((0g𝑅)(+g𝑌)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+g𝑌)(0g𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0g𝑌) = (0g𝑅)))
1610, 15mpbid 224 . 2 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g𝑅))
1716eqcomd 2784 1 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Xscprds 16492  Mndcmnd 17680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681 This theorem is referenced by:  pws0g  17712  prdspjmhm  17753  prdsgrpd  17912  prdsinvgd  17913  prds1  19001  dsmm0cl  20483
 Copyright terms: Public domain W3C validator