MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prds0g 18699
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmndd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
Assertion
Ref Expression
prds0g (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem prds0g
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmndd.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
4 prdsmndd.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
54elexd 3489 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
6 prdsmndd.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
76elexd 3489 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8 prdsmndd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
9 eqid 2726 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
101, 2, 3, 5, 7, 8, 9prdsidlem 18697 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)))
11 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
121, 6, 4, 8prdsmndd 18698 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
132, 3mndid 18675 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Mnd β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = 𝑏))
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = 𝑏))
152, 11, 3, 14ismgmid 18596 . . 3 (πœ‘ β†’ (((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = 𝑏)) ↔ (0gβ€˜π‘Œ) = (0g ∘ 𝑅)))
1610, 15mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0g ∘ 𝑅))
1716eqcomd 2732 1 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) = (0gβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Xscprds 17398  Mndcmnd 18665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666
This theorem is referenced by:  pws0g  18701  prdspjmhm  18752  prdsgrpd  18976  prdsinvgd  18977  prds1  20220  dsmm0cl  21631
  Copyright terms: Public domain W3C validator