Theorem prmunb2 41929

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16615 to real 𝐴 with arch 12230 and lttrd 11136: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 11980	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4		prmz 16380	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	zred 12426	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 11136	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10		arch 12230	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11		prmunb 16615	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
12	11	rgen 3074	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13		r19.29r 3185	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
14	10, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15		r19.42v 3279	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
16	15	rexbii 3181	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
17	14, 16	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝))
18	9, 17	reximddv2 3207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19		1nn 11984	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
20		ne0i 4268	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21		r19.9rzv 4430	. . 3 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
23	18, 22	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by: (None)