Theorem prmunb2 39292

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 15951 to real 𝐴 with arch 11577 and lttrd 10488: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 792	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 11320	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 723	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4		prmz 15723	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	zred 11772	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 719	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7		simprl 788	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8		simprr 790	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 10488	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10		arch 11577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11		prmunb 15951	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
12	11	rgen 3103	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13		r19.29r 3254	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
14	10, 12, 13	sylancl 581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15		r19.42v 3273	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
16	15	rexbii 3222	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
17	14, 16	sylibr 226	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝))
18	9, 17	reximddv2 3201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19		1nn 11325	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
20		ne0i 4121	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21		r19.9rzv 4258	. . 3 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
23	18, 22	sylibr 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  ∅c0 4115   class class class wbr 4843  ℝcr 10223  1c1 10225   < clt 10363  ℕcn 11312  ℙcprime 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-dvds 15320  df-prm 15720

This theorem is referenced by: (None)