Theorem prmunb2 44307

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16892 to real 𝐴 with arch 12446 and lttrd 11342: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 774	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12200	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4		prmz 16652	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	zred 12645	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 11342	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10		arch 12446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11		prmunb 16892	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
12	11	rgen 3047	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13		r19.29r 3097	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
14	10, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15		r19.42v 3170	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
16	15	rexbii 3077	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
17	14, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝))
18	9, 17	reximddv2 3197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19		1nn 12204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
20		ne0i 4307	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21		r19.9rzv 4466	. . 3 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
23	18, 22	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  1c1 11076   < clt 11215  ℕcn 12193  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by: (None)