Theorem prmunb2 44307

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16948 to real 𝐴 with arch 12521 and lttrd 11420: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12271	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4		prmz 16709	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	zred 12720	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 11420	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10		arch 12521	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11		prmunb 16948	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
12	11	rgen 3061	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13		r19.29r 3114	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
14	10, 12, 13	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15		r19.42v 3189	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
16	15	rexbii 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
17	14, 16	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝))
18	9, 17	reximddv2 3213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19		1nn 12275	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
20		ne0i 4347	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21		r19.9rzv 4506	. . 3 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
23	18, 22	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  1c1 11154   < clt 11293  ℕcn 12264  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by: (None)