Theorem prmunb2 44848

Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16941 to real 𝐴 with arch 12472 and lttrd 11338: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmunb2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 784	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12211	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
3	2	ad3antlr 741	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4		prmz 16700	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5	4	zred 12671	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
6	5	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7		simprl 780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8		simprr 782	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
9	1, 3, 6, 7, 8	lttrd 11338	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10		arch 12472	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11		prmunb 16941	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
12	11	rgen 3077	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13		r19.29r 3125	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
14	10, 12, 13	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15		r19.42v 3193	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
16	15	rexbii 3108	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
17	14, 16	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛 ∧ 𝑛 < 𝑝))
18	9, 17	reximddv2 3220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19		1nn 12215	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
20		ne0i 4291	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21		r19.9rzv 4456	. . 3 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
23	18, 22	sylibr 236	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  1c1 11068   < clt 11210  ℕcn 12204  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697

This theorem is referenced by: (None)