Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb2 43922
Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16911 to real 𝐴 with arch 12516 and lttrd 11421: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmunb2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnre 12266 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
32ad3antlr 729 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4 prmz 16671 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54zred 12713 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 725 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7 simprl 769 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8 simprr 771 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
91, 3, 6, 7, 8lttrd 11421 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10 arch 12516 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11 prmunb 16911 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
1211rgen 3052 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13 r19.29r 3105 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1410, 12, 13sylancl 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15 r19.42v 3180 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1615rexbii 3083 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1714, 16sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝))
189, 17reximddv2 3202 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19 1nn 12270 . . 3 1 ∈ ℕ
20 ne0i 4336 . . 3 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21 r19.9rzv 4503 . . 3 (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
2219, 20, 21mp2b 10 . 2 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
2318, 22sylibr 233 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  c0 4324   class class class wbr 5152  cr 11153  1c1 11155   < clt 11294  cn 12259  cprime 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-prm 16668
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator