Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb2 40949
Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16239 to real 𝐴 with arch 11882 and lttrd 10790: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmunb2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnre 11632 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
32ad3antlr 730 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4 prmz 16008 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54zred 12075 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7 simprl 770 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8 simprr 772 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
91, 3, 6, 7, 8lttrd 10790 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10 arch 11882 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11 prmunb 16239 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
1211rgen 3140 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13 r19.29r 3243 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1410, 12, 13sylancl 589 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15 r19.42v 3331 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1615rexbii 3235 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1714, 16sylibr 237 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝))
189, 17reximddv2 3264 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19 1nn 11636 . . 3 1 ∈ ℕ
20 ne0i 4272 . . 3 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21 r19.9rzv 4417 . . 3 (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
2219, 20, 21mp2b 10 . 2 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
2318, 22sylibr 237 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  c0 4265   class class class wbr 5042  cr 10525  1c1 10527   < clt 10664  cn 11625  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-prm 16005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator