Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb2 42683
Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16794 to real 𝐴 with arch 12418 and lttrd 11324: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmunb2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnre 12168 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
32ad3antlr 730 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4 prmz 16559 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54zred 12615 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7 simprl 770 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8 simprr 772 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
91, 3, 6, 7, 8lttrd 11324 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10 arch 12418 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11 prmunb 16794 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
1211rgen 3063 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13 r19.29r 3116 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1410, 12, 13sylancl 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15 r19.42v 3184 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1615rexbii 3094 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1714, 16sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝))
189, 17reximddv2 3203 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19 1nn 12172 . . 3 1 ∈ ℕ
20 ne0i 4298 . . 3 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21 r19.9rzv 4461 . . 3 (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
2219, 20, 21mp2b 10 . 2 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
2318, 22sylibr 233 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4286   class class class wbr 5109  cr 11058  1c1 11060   < clt 11197  cn 12161  cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-prm 16556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator