Theorem psrneg 22293

Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgrp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psrneg.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrneg.i	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
psrneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
psrneg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrneg	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrgrp.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrgrp.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		psrneg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrneg.i	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
6		psrneg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		psrneg.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrlinv 22290	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
12	1, 2, 3, 4, 8, 11	psr0 22292	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
13	10, 12	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆))
14	1, 2, 3	psrgrp 22291	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrnegcl 22289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵)
16		psrneg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑆)
17	6, 9, 11, 16	grpinvid2 19229	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∘ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
18	14, 7, 15, 17	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋) ↔ ((𝑁 ∘ 𝑋)(+g‘𝑆)𝑋) = (0g‘𝑆)))
19	13, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = (𝑁 ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  {csn 4588   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171   mPwSer cmps 22239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-psr 22244

This theorem is used by:  mplsubglem  22333  mplneg  22344