MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrneg 21385
Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psrneg.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrneg.i 𝑁 = (invg𝑅)
psrneg.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrneg.m 𝑀 = (invg𝑆)
psrneg.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrneg (𝜑 → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrneg
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrgrp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4 psrneg.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrneg.i . . . 4 𝑁 = (invg𝑅)
6 psrneg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 psrneg.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
8 eqid 2733 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9psrlinv 21381 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋)(+g𝑆)𝑋) = (𝐷 × {(0g𝑅)}))
11 eqid 2733 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
121, 2, 3, 4, 8, 11psr0 21384 . . 3 (𝜑 → (0g𝑆) = (𝐷 × {(0g𝑅)}))
1310, 12eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋)(+g𝑆)𝑋) = (0g𝑆))
141, 2, 3psrgrp 21382 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrnegcl 21380 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
16 psrneg.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑆)
176, 9, 11, 16grpinvid2 18808 . . 3 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋)(+g𝑆)𝑋) = (0g𝑆)))
1814, 7, 15, 17syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) = (𝑁𝑋) ↔ ((𝑁𝑋)(+g𝑆)𝑋) = (0g𝑆)))
1913, 18mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  {csn 4587   × cxp 5632  ccnv 5633  cima 5637  ccom 5638  cfv 6497  (class class class)co 7358  m cmap 8768  Fincfn 8886  cn 12158  0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  mplsubglem  21421  mplneg  21430
  Copyright terms: Public domain W3C validator