![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lagsubg2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lagsubg.1 | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
lagsubg.2 | โข โผ = (๐บ ~QG ๐) |
lagsubg.3 | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
lagsubg.4 | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
Ref | Expression |
---|---|
lagsubg2 | โข (๐ โ (โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lagsubg.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
2 | lagsubg.1 | . . . . 5 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
3 | lagsubg.2 | . . . . 5 โข โผ = (๐บ ~QG ๐) | |
4 | 2, 3 | eqger 19094 | . . . 4 โข (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โ โผ Er ๐) |
5 | 1, 4 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ โผ Er ๐) |
6 | lagsubg.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
7 | 5, 6 | qshash 15777 | . 2 โข (๐ โ (โฏโ๐) = ฮฃ๐ฅ โ (๐ / โผ )(โฏโ๐ฅ)) |
8 | 2, 3 | eqgen 19097 | . . . . 5 โข ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ โ ๐ฅ) |
9 | 1, 8 | sylan 578 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ โ ๐ฅ) |
10 | 2 | subgss 19043 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (SubGrpโ๐บ) โ ๐ โ ๐) |
11 | 1, 10 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
12 | 6, 11 | ssfid 9269 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
13 | 12 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ โ Fin) |
14 | 6 | adantr 479 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ โ Fin) |
15 | 5 | qsss 8774 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ / โผ ) โ ๐ซ ๐) |
16 | 15 | sselda 3981 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ฅ โ ๐ซ ๐) |
17 | 16 | elpwid 4610 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ฅ โ ๐) |
18 | 14, 17 | ssfid 9269 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ๐ฅ โ Fin) |
19 | hashen 14311 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ฅ โ Fin) โ ((โฏโ๐) = (โฏโ๐ฅ) โ ๐ โ ๐ฅ)) | |
20 | 13, 18, 19 | syl2anc 582 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ ((โฏโ๐) = (โฏโ๐ฅ) โ ๐ โ ๐ฅ)) |
21 | 9, 20 | mpbird 256 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ / โผ )) โ (โฏโ๐) = (โฏโ๐ฅ)) |
22 | 21 | sumeq2dv 15653 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ (๐ / โผ )(โฏโ๐) = ฮฃ๐ฅ โ (๐ / โผ )(โฏโ๐ฅ)) |
23 | pwfi 9180 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ ๐ซ ๐ โ Fin) | |
24 | 6, 23 | sylib 217 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ซ ๐ โ Fin) |
25 | 24, 15 | ssfid 9269 | . . 3 โข (๐ โ (๐ / โผ ) โ Fin) |
26 | hashcl 14320 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ (โฏโ๐) โ โ0) | |
27 | 12, 26 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (โฏโ๐) โ โ0) |
28 | 27 | nn0cnd 12538 | . . 3 โข (๐ โ (โฏโ๐) โ โ) |
29 | fsumconst 15740 | . . 3 โข (((๐ / โผ ) โ Fin โง (โฏโ๐) โ โ) โ ฮฃ๐ฅ โ (๐ / โผ )(โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐))) | |
30 | 25, 28, 29 | syl2anc 582 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ฅ โ (๐ / โผ )(โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐))) |
31 | 7, 22, 30 | 3eqtr2d 2776 | 1 โข (๐ โ (โฏโ๐) = ((โฏโ(๐ / โผ )) ยท (โฏโ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wss 3947 ๐ซ cpw 4601 class class class wbr 5147 โcfv 6542 (class class class)co 7411 Er wer 8702 / cqs 8704 โ cen 8938 Fincfn 8941 โcc 11110 ยท cmul 11117 โ0cn0 12476 โฏchash 14294 ฮฃcsu 15636 Basecbs 17148 SubGrpcsubg 19036 ~QG cqg 19038 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-disj 5113 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-ec 8707 df-qs 8711 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12979 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-seq 13971 df-exp 14032 df-hash 14295 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-clim 15436 df-sum 15637 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-0g 17391 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-grp 18858 df-minusg 18859 df-subg 19039 df-eqg 19041 |
This theorem is referenced by: lagsubg 19110 orbsta2 19219 sylow2blem3 19531 sylow3lem3 19538 sylow3lem4 19539 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |