Theorem lagsubg2 19073

Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
lagsubg.2	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
lagsubg.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lagsubg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))

Proof of Theorem lagsubg2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lagsubg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lagsubg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		lagsubg.2	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
4	2, 3	eqger 19057	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑋)
6		lagsubg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	5, 6	qshash 15734	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑥))
8	2, 3	eqgen 19060	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
9	1, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
10	2	subgss 19006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	6, 11	ssfid 9158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ∈ Fin)
14	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	qsss 8703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
16	15	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
17	16	elpwid 4560	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
18	14, 17	ssfid 9158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ Fin)
19		hashen 14254	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
20	13, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
21	9, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → (♯‘𝑌) = (♯‘𝑥))
22	21	sumeq2dv 15609	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑥))
23		pwfi 9208	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24	6, 23	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
25	24, 15	ssfid 9158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
26		hashcl 14263	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
29		fsumconst 15697	. . 3 ⊢ (((𝑋 / ∼ ) ∈ Fin ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))
30	25, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))
31	7, 22, 30	3eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   Er wer 8622   / cqs 8624   ≈ cen 8869  Fincfn 8872  ℂcc 11007   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384  ♯chash 14237  Σcsu 15593  Basecbs 17120  SubGrpcsubg 18999   ~_QG cqg 19001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-eqg 19004

This theorem is referenced by:  lagsubg  19074  orbsta2  19193  sylow2blem3  19501  sylow3lem3  19508  sylow3lem4  19509