Theorem lagsubg2 19121

Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lagsubg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
lagsubg.2	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
lagsubg.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lagsubg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lagsubg2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))

Proof of Theorem lagsubg2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lagsubg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lagsubg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		lagsubg.2	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
4	2, 3	eqger 19105	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝑋)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑋)
6		lagsubg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7	5, 6	qshash 15748	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑥))
8	2, 3	eqgen 19108	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
9	1, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ≈ 𝑥)
10	2	subgss 19055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
11	1, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
12	6, 11	ssfid 9167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑌 ∈ Fin)
14	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑋 ∈ Fin)
15	5	qsss 8711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑋)
16	15	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
17	16	elpwid 4561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
18	14, 17	ssfid 9167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → 𝑥 ∈ Fin)
19		hashen 14268	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
20	13, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌 ≈ 𝑥))
21	9, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )) → (♯‘𝑌) = (♯‘𝑥))
22	21	sumeq2dv 15623	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑥))
23		pwfi 9217	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24	6, 23	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
25	24, 15	ssfid 9167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / ∼ ) ∈ Fin)
26		hashcl 14277	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
27	12, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
28	27	nn0cnd 12462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
29		fsumconst 15711	. . 3 ⊢ (((𝑋 / ∼ ) ∈ Fin ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))
30	25, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / ∼ )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))
31	7, 22, 30	3eqtr2d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / ∼ )) · (♯‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   Er wer 8630   / cqs 8632   ≈ cen 8878  Fincfn 8881  ℂcc 11022   · cmul 11029  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251  Σcsu 15607  Basecbs 17134  SubGrpcsubg 19048   ~_QG cqg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-eqg 19053

This theorem is referenced by:  lagsubg  19122  orbsta2  19241  sylow2blem3  19549  sylow3lem3  19556  sylow3lem4  19557