MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg2 19212
Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lagsubg.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
lagsubg.2 = (𝐺 ~QG 𝑌)
lagsubg.3 (𝜑𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lagsubg.4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
lagsubg2 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝑌)))

Proof of Theorem lagsubg2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lagsubg.3 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 lagsubg.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 lagsubg.2 . . . . 5 = (𝐺 ~QG 𝑌)
42, 3eqger 19196 . . . 4 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑 Er 𝑋)
6 lagsubg.4 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
75, 6qshash 15863 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑋) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / )(♯‘𝑥))
82, 3eqgen 19199 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑌𝑥)
91, 8sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑌𝑥)
102subgss 19145 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
126, 11ssfid 9301 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑌 ∈ Fin)
146adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑋 ∈ Fin)
155qsss 8818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
1615sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
1716elpwid 4609 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑥𝑋)
1814, 17ssfid 9301 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → 𝑥 ∈ Fin)
19 hashen 14386 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌𝑥))
2013, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → ((♯‘𝑌) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑌𝑥))
219, 20mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 / )) → (♯‘𝑌) = (♯‘𝑥))
2221sumeq2dv 15738 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / )(♯‘𝑌) = Σ𝑥 ∈ (𝑋 / )(♯‘𝑥))
23 pwfi 9357 . . . . 5 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
246, 23sylib 218 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
2524, 15ssfid 9301 . . 3 (𝜑 → (𝑋 / ) ∈ Fin)
26 hashcl 14395 . . . . 5 (𝑌 ∈ Fin → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
2712, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 12589 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑌) ∈ ℂ)
29 fsumconst 15826 . . 3 (((𝑋 / ) ∈ Fin ∧ (♯‘𝑌) ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝑌)))
3025, 28, 29syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑋 / )(♯‘𝑌) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝑌)))
317, 22, 303eqtr2d 2783 1 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / )) · (♯‘𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742   / cqs 8744  cen 8982  Fincfn 8985  cc 11153   · cmul 11160  0cn0 12526  chash 14369  Σcsu 15722  Basecbs 17247  SubGrpcsubg 19138   ~QG cqg 19140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-eqg 19143
This theorem is referenced by:  lagsubg  19213  orbsta2  19332  sylow2blem3  19640  sylow3lem3  19647  sylow3lem4  19648
  Copyright terms: Public domain W3C validator