MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg2 19065
Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lagsubg.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
lagsubg.2 โˆผ = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
lagsubg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
lagsubg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
lagsubg2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))

Proof of Theorem lagsubg2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lagsubg.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 lagsubg.1 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 lagsubg.2 . . . . 5 โˆผ = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
42, 3eqger 19052 . . . 4 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
51, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
6 lagsubg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
75, 6qshash 15769 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
82, 3eqgen 19055 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ)
91, 8sylan 580 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ)
102subgss 19001 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹)
126, 11ssfid 9263 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
1312adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
146adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
155qsss 8768 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
1615sselda 3981 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹)
1716elpwid 4610 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
1814, 17ssfid 9263 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
19 hashen 14303 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ))
2013, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ))
219, 20mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
2221sumeq2dv 15645 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
23 pwfi 9174 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
246, 23sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2524, 15ssfid 9263 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
26 hashcl 14312 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
2712, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
2827nn0cnd 12530 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
29 fsumconst 15732 . . 3 (((๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
3025, 28, 29syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
317, 22, 303eqtr2d 2778 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3947  ๐’ซ cpw 4601   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696   / cqs 8698   โ‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12468  โ™ฏchash 14286  ฮฃcsu 15628  Basecbs 17140  SubGrpcsubg 18994   ~QG cqg 18996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-eqg 18999
This theorem is referenced by:  lagsubg  19066  orbsta2  19172  sylow2blem3  19484  sylow3lem3  19491  sylow3lem4  19492
  Copyright terms: Public domain W3C validator