MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lagsubg2 19110
Description: Lagrange's theorem for finite groups. Call the "order" of a group the cardinal number of the basic set of the group, and "index of a subgroup" the cardinal number of the set of left (or right, this is the same) cosets of this subgroup. Then the order of the group is the (cardinal) product of the order of any of its subgroups by the index of this subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lagsubg.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
lagsubg.2 โˆผ = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
lagsubg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
lagsubg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
lagsubg2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))

Proof of Theorem lagsubg2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lagsubg.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
2 lagsubg.1 . . . . 5 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 lagsubg.2 . . . . 5 โˆผ = (๐บ ~QG ๐‘Œ)
42, 3eqger 19095 . . . 4 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
51, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘‹)
6 lagsubg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
75, 6qshash 15778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
82, 3eqgen 19098 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ)
91, 8sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ)
102subgss 19044 . . . . . . . 8 (๐‘Œ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โŠ† ๐‘‹)
126, 11ssfid 9270 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
1312adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
146adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
155qsss 8775 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘‹)
1615sselda 3983 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ ๐‘‹)
1716elpwid 4612 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† ๐‘‹)
1814, 17ssfid 9270 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Fin)
19 hashen 14312 . . . . 5 ((๐‘Œ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ))
2013, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘Œ โ‰ˆ ๐‘ฅ))
219, 20mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
2221sumeq2dv 15654 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
23 pwfi 9181 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
246, 23sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
2524, 15ssfid 9270 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
26 hashcl 14321 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
2712, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„•0)
2827nn0cnd 12539 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
29 fsumconst 15741 . . 3 (((๐‘‹ / โˆผ ) โˆˆ Fin โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Œ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
3025, 28, 29syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹ / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘Œ) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
317, 22, 303eqtr2d 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜(๐‘‹ / โˆผ )) ยท (โ™ฏโ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โŠ† wss 3949  ๐’ซ cpw 4603   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   Er wer 8703   / cqs 8705   โ‰ˆ cen 8939  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111   ยท cmul 11118  โ„•0cn0 12477  โ™ฏchash 14295  ฮฃcsu 15637  Basecbs 17149  SubGrpcsubg 19037   ~QG cqg 19039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-eqg 19042
This theorem is referenced by:  lagsubg  19111  orbsta2  19220  sylow2blem3  19532  sylow3lem3  19539  sylow3lem4  19540
  Copyright terms: Public domain W3C validator