Theorem ranrcl5 49827

Description: The second component of a right Kan extension is a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)𝐴)
ranrcl5.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ranrcl5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))

Proof of Theorem ranrcl5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸)) = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
3		ranrcl2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)𝐴)
4	3	ranrcl4lem 49825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩)
5	1, 2, 4, 3	isran2 49816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), tpos (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) UP (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸)))𝑋)𝐴)
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
7		ranrcl5.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)
8	6, 7	fuchom 17886	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
9	5, 2, 8	oppcuprcl5 49388	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)𝑁𝑋))
10	3	ranrcl4 49826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)) = (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)))
12	10, 11	prcof1 49575	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿) = (𝐿 ∘func 𝐹))
13	12	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)𝑁𝑋) = ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))
14	9, 13	eleqtrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  tpos ctpos 8165  oppCatcoppc 17632   ∘_func ccofu 17778   Nat cnat 17866   FuncCat cfuc 17867   −∘_F cprcof 49560   Ran cran 49793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-hom 17199  df-cco 17200  df-cat 17589  df-cid 17590  df-oppc 17633  df-func 17780  df-cofu 17782  df-nat 17868  df-fuc 17869  df-xpc 18093  df-curf 18135  df-oppf 49310  df-up 49361  df-swapf 49447  df-fuco 49504  df-prcof 49561  df-ran 49795

This theorem is referenced by: (None)