Theorem ranrcl5 50962

Description: The second component of a right Kan extension is a natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranrcl2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)𝐴)
ranrcl5.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ranrcl5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))

Proof of Theorem ranrcl5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) = (oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸))
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸)) = (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
3		ranrcl2.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿(𝐹(⟨𝐶, 𝐷⟩ Ran 𝐸)𝑋)𝐴)
4	3	ranrcl4lem 50960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩)
5	1, 2, 4, 3	isran2 50951	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿(⟨(1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)), tpos (2nd ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))⟩((oppCat‘(𝐷 FuncCat 𝐸)) UP (oppCat‘(𝐶 FuncCat 𝐸)))𝑋)𝐴)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐸) = (𝐶 FuncCat 𝐸)
7		ranrcl5.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐸)
8	6, 7	fuchom 18151	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Hom ‘(𝐶 FuncCat 𝐸))
9	5, 2, 8	oppcuprcl5 50456	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)𝑁𝑋))
10	3	ranrcl4 50961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
11		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)) = (1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹)))
12	10, 11	prcof1 50662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿) = (𝐿 ∘func 𝐹))
13	12	oveq1d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1st ‘(⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹))‘𝐿)𝑁𝑋) = ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))
14	9, 13	eleqtrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝐿 ∘func 𝐹)𝑁𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  1^st c1st 8006  2^nd c2nd 8007  tpos ctpos 8253  oppCatcoppc 17897   ∘_func ccofu 18043   Nat cnat 18131   FuncCat cfuc 18132   −∘_F cprcof 50647   Ran cran 50928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-hom 17464  df-cco 17465  df-cat 17854  df-cid 17855  df-oppc 17898  df-func 18045  df-cofu 18047  df-nat 18133  df-fuc 18134  df-xpc 18358  df-curf 18400  df-oppf 50378  df-up 50429  df-swapf 50521  df-fuco 50578  df-prcof 50648  df-ran 50930

This theorem is used by: (None)