Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem46 46061
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1 𝑡𝑈
stoweidlem46.2 𝑄
stoweidlem46.3 𝑞𝜑
stoweidlem46.4 𝑡𝜑
stoweidlem46.5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem46.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem46.9 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem46.15 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem46.16 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem46.17 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8 𝑞𝜑
2 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑞 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
31, 2nfan 1899 . . . . . . 7 𝑞(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
5 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑇
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
75, 6nfdif 4129 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑇𝑈)
87nfel2 2924 . . . . . . . 8 𝑡 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
94, 8nfan 1899 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7 𝑄
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7 𝑇 = 𝐽
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
19183adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21203adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2524adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐽)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑈𝐽)
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑈)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑍𝑈)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 46058 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)))
32 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑔(𝑄 ∧ 0 < (𝑠))
3310nfel2 2924 . . . . . . . 8 𝑔𝑄
34 nfv 1914 . . . . . . . 8 0 < (𝑔𝑠)
3533, 34nfan 1899 . . . . . . 7 (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))
36 eleq1 2829 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (𝑄𝑔𝑄))
37 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 ( = 𝑔 → (𝑠) = (𝑔𝑠))
3837breq2d 5155 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (0 < (𝑠) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
3936, 38anbi12d 632 . . . . . . 7 ( = 𝑔 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))))
4032, 35, 39cbvexv1 2344 . . . . . 6 (∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
4131, 40sylib 218 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
43 rabexg 5337 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4544ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
46 eldifi 4131 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠𝑇)
4746ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠𝑇)
48 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 0 < (𝑔𝑠))
49 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑠))
5049breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
5150elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ↔ (𝑠𝑇 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
5247, 48, 51sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
53 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝜑)
5416adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝑄)
5655, 12eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
57 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → (𝑍) = (𝑔𝑍))
5857eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝑔𝑍) = 0))
59 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑔 → (𝑡) = (𝑔𝑡))
6059breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔𝑡)))
6159breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔𝑡) ≤ 1))
6260, 61anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6362ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6458, 63anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑔 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6564elrab 3692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6656, 65sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑄) → (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6766simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝐴)
6854, 67sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6968ad2ant2r 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑡0
71 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑔
72 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
734, 72nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
75 0xr 11308 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 45024 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
7953, 69, 78syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
80 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
81 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
82 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑔
8359breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑔 → (0 < (𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑡)))
8483rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑔 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
8584eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑔 → ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
8681, 82, 10, 85rspcegf 45028 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑄 ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8755, 80, 86syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑄) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8887ad2ant2r 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
89 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9089rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9190elrab 3692 . . . . . . . 8 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ↔ ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9279, 88, 91sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}})
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9492, 93eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
95 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
96 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
97 nfrab1 3457 . . . . . . . . . . 11 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9893, 97nfcxfr 2903 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑊
9998nfel2 2924 . . . . . . . . 9 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊
10096, 99nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑤(𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
101 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑠𝑤𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
102 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤𝑊 ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊))
103101, 102anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → ((𝑠𝑤𝑤𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)))
10495, 100, 103spcegf 3592 . . . . . . 7 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊)))
105104imp 406 . . . . . 6 (({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10645, 52, 94, 105syl12anc 837 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10741, 106exlimddv 1935 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
108 nfcv 2905 . . . . 5 𝑤𝑠
109108, 98elunif 45021 . . . 4 (𝑠 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
110107, 109sylibr 234 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 𝑊)
111110ex 412 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠 𝑊))
112111ssrdv 3989 1 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  topGenctg 17482   Cn ccn 23232  Compccmp 23394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  46065
  Copyright terms: Public domain W3C validator