Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem46 45247
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem46.2 β„²β„Žπ‘„
stoweidlem46.3 β„²π‘žπœ‘
stoweidlem46.4 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem46.5 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem46.6 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem46.7 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem46.8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem46.9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem46.15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem46.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem46.17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘ž,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,π‘ž,𝑑,𝑇   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑑   𝑄,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑔,π‘Š   𝐴,π‘ž,π‘Ÿ   𝑍,π‘ž,π‘₯   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐽,𝑀   𝑑,𝐾   𝑀,𝑄   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑑,β„Ž,π‘ž)   𝐴(𝑀)   𝑄(π‘₯,𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘ˆ(𝑀,𝑑,β„Ž)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž)   𝑍(𝑀,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8 β„²π‘žπœ‘
2 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘ž 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)
31, 2nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘ž(πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8 β„²π‘‘πœ‘
5 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑇
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10 β„²π‘‘π‘ˆ
75, 6nfdif 4117 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
87nfel2 2913 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)
94, 8nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘„
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7 𝑇 = βˆͺ 𝐽
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
19183adant1r 1174 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
21203adant1r 1174 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
2322adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
2524adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
30 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 45244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘ )))
32 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑔(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘ ))
3310nfel2 2913 . . . . . . . 8 β„²β„Ž 𝑔 ∈ 𝑄
34 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²β„Ž0 < (π‘”β€˜π‘ )
3533, 34nfan 1894 . . . . . . 7 β„²β„Ž(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))
36 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Ž ∈ 𝑄 ↔ 𝑔 ∈ 𝑄))
37 fveq1 6880 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Žβ€˜π‘ ) = (π‘”β€˜π‘ ))
3837breq2d 5150 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝑔 β†’ (0 < (β„Žβ€˜π‘ ) ↔ 0 < (π‘”β€˜π‘ )))
3936, 38anbi12d 630 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘ )) ↔ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))))
4032, 35, 39cbvexv1 2330 . . . . . 6 (βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘ )) ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ )))
4131, 40sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ )))
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
43 rabexg 5321 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ V)
4544ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ V)
46 eldifi 4118 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ 𝑇)
4746ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑇)
48 simprr 770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))
49 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑠 β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (π‘”β€˜π‘ ))
5049breq2d 5150 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑠 β†’ (0 < (π‘”β€˜π‘‘) ↔ 0 < (π‘”β€˜π‘ )))
5150elrab 3675 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ )))
5247, 48, 51sylanbrc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)})
53 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ πœ‘)
5416adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ 𝑔 ∈ 𝑄)
5655, 12eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ 𝑔 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))})
57 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Žβ€˜π‘) = (π‘”β€˜π‘))
5857eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ↔ (π‘”β€˜π‘) = 0))
59 fveq1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝑔 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π‘”β€˜π‘‘))
6059breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑔 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘)))
6159breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))
6260, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝑔 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6362ralbidv 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = 𝑔 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1)))
6458, 63anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = 𝑔 β†’ (((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)) ↔ ((π‘”β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))))
6564elrab 3675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))} ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘”β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))))
6656, 65sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((π‘”β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘”β€˜π‘‘) ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ≀ 1))))
6766simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
6854, 67sseldd 3975 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6968ad2ant2r 744 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑0
71 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑔
72 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
734, 72nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}
75 0xr 11258 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
77 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 44192 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ 𝐽)
7953, 69, 78syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ 𝐽)
80 eqidd 2725 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)})
81 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Ž{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}
82 nfcv 2895 . . . . . . . . . . 11 β„²β„Žπ‘”
8359breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = 𝑔 β†’ (0 < (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)))
8483rabbidv 3432 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑔 β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)})
8584eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑔 β†’ ({𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)} ↔ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}))
8681, 82, 10, 85rspcegf 44196 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ 𝑄 ∧ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)})
8755, 80, 86syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)})
8887ad2ant2r 744 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)})
89 eqeq1 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} β†’ (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)} ↔ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}))
9089rexbidv 3170 . . . . . . . . 9 (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} β†’ (βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)} ↔ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}))
9190elrab 3675 . . . . . . . 8 ({𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}} ↔ ({𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ 𝐽 ∧ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}))
9279, 88, 91sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}})
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9492, 93eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š)
95 nfcv 2895 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}
96 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑀 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}
97 nfrab1 3443 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑀{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
9893, 97nfcxfr 2893 . . . . . . . . . 10 β„²π‘€π‘Š
9998nfel2 2913 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑀{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š
10096, 99nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀(𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∧ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š)
101 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} β†’ (𝑠 ∈ 𝑀 ↔ 𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)}))
102 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} β†’ (𝑀 ∈ π‘Š ↔ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š))
103101, 102anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} β†’ ((𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š) ↔ (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∧ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š)))
10495, 100, 103spcegf 3574 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ V β†’ ((𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∧ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘€(𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š)))
105104imp 406 . . . . . 6 (({𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∧ {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (π‘”β€˜π‘‘)} ∈ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘€(𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š))
10645, 52, 94, 105syl12anc 834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π‘”β€˜π‘ ))) β†’ βˆƒπ‘€(𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š))
10741, 106exlimddv 1930 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘€(𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š))
108 nfcv 2895 . . . . 5 Ⅎ𝑀𝑠
109108, 98elunif 44189 . . . 4 (𝑠 ∈ βˆͺ π‘Š ↔ βˆƒπ‘€(𝑠 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ π‘Š))
110107, 109sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ π‘Š)
111110ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ π‘Š))
112111ssrdv 3980 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4899   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  (,)cioo 13321  topGenctg 17382   Cn ccn 23050  Compccmp 23212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  45251
  Copyright terms: Public domain W3C validator