Theorem stoweidlem46 44697

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem46.2	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem46.3	⊢ Ⅎ𝑞𝜑
stoweidlem46.4	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem46.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem46.8	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem46.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem46.15	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem46.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem46.17	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
2		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
3	1, 2	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
7	5, 6	nfdif 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
8	7	nfel2 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
9	4, 8	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑄
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	14	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	16	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	18	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
21	20	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
23	22	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
25	24	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
27	26	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
29	28	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
30		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 44694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)))
32		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠))
33	10	nfel2 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ 𝑔 ∈ 𝑄
34		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ0 < (𝑔‘𝑠)
35	33, 34	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))
36		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ 𝑄 ↔ 𝑔 ∈ 𝑄))
37		fveq1 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑠) = (𝑔‘𝑠))
38	37	breq2d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑠) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))))
40	32, 35, 39	cbvexv1 2339	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
41	31, 40	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
43		rabexg 5330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
45	44	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
46		eldifi 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ 𝑇)
47	46	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝑇)
48		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 0 < (𝑔‘𝑠))
49		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑠))
50	49	breq2d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
51	50	elrab 3682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
52	47, 48, 51	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝜑)
54	16	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝑄)
56	55, 12	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))})
57		fveq1 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑍) = (𝑔‘𝑍))
58	57	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ (𝑔‘𝑍) = 0))
59		fveq1 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑡) = (𝑔‘𝑡))
60	59	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔‘𝑡)))
61	59	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))
62	60, 61	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
63	62	ralbidv 3178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
64	58, 63	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
65	64	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
66	56, 65	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
67	66	simpld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝐴)
68	54, 67	sseldd 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
69	68	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡0
71		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
72		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
73	4, 72	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
75		0xr 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 43636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
79	53, 69, 78	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
80		eqidd 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
81		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
82		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ𝑔
83	59	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑡)))
84	83	rabbidv 3441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑔 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
85	84	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 43640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑄 ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
87	55, 80, 86	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
88	87	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
89		eqeq1 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
90	89	rexbidv 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
91	90	elrab 3682	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ↔ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
92	79, 88, 91	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
94	92, 93	eleqtrrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
95		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
96		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
97		nfrab1 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
98	93, 97	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
99	98	nfel2 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊
100	96, 99	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
101		eleq2 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑠 ∈ 𝑤 ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
102		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 ∈ 𝑊 ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊))
103	101, 102	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)))
104	95, 100, 103	spcegf 3582	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊)))
105	104	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
107	41, 106	exlimddv 1939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
108		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑠
109	108, 98	elunif 43633	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
110	107, 109	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊)
111	110	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊))
112	111	ssrdv 3987	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13320  topGenctg 17379   Cn ccn 22710  Compccmp 22872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  44701