Theorem stoweidlem46 46002

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem46.2	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem46.3	⊢ Ⅎ𝑞𝜑
stoweidlem46.4	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem46.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem46.8	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem46.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem46.15	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem46.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem46.17	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
2		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
3	1, 2	nfan 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
7	5, 6	nfdif 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
8	7	nfel2 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
9	4, 8	nfan 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑄
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	18	3adant1r 1176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
21	20	3adant1r 1176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
23	22	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
25	24	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 45999	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)))
32		nfv 1912	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠))
33	10	nfel2 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ 𝑔 ∈ 𝑄
34		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ0 < (𝑔‘𝑠)
35	33, 34	nfan 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))
36		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ 𝑄 ↔ 𝑔 ∈ 𝑄))
37		fveq1 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑠) = (𝑔‘𝑠))
38	37	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑠) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))))
40	32, 35, 39	cbvexv1 2343	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
41	31, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
43		rabexg 5343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
45	44	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
46		eldifi 4141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ 𝑇)
47	46	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝑇)
48		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 0 < (𝑔‘𝑠))
49		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑠))
50	49	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
51	50	elrab 3695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
52	47, 48, 51	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
53		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝜑)
54	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝑄)
56	55, 12	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))})
57		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑍) = (𝑔‘𝑍))
58	57	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ (𝑔‘𝑍) = 0))
59		fveq1 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑡) = (𝑔‘𝑡))
60	59	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔‘𝑡)))
61	59	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))
62	60, 61	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
63	62	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
64	58, 63	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
65	64	elrab 3695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
66	56, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
67	66	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝐴)
68	54, 67	sseldd 3996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
69	68	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡0
71		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
72		nfv 1912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
73	4, 72	nfan 1897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
75		0xr 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 44957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
79	53, 69, 78	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
80		eqidd 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
81		nfv 1912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
82		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ𝑔
83	59	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑡)))
84	83	rabbidv 3441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑔 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
85	84	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 44961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑄 ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
87	55, 80, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
88	87	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
89		eqeq1 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
90	89	rexbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
91	90	elrab 3695	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ↔ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
92	79, 88, 91	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
94	92, 93	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
95		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
96		nfv 1912	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
97		nfrab1 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
98	93, 97	nfcxfr 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
99	98	nfel2 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊
100	96, 99	nfan 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
101		eleq2 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑠 ∈ 𝑤 ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
102		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 ∈ 𝑊 ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊))
103	101, 102	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)))
104	95, 100, 103	spcegf 3592	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊)))
105	104	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
107	41, 106	exlimddv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
108		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑠
109	108, 98	elunif 44954	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
110	107, 109	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊)
111	110	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊))
112	111	ssrdv 4001	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384  topGenctg 17484   Cn ccn 23248  Compccmp 23410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  46006