Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem46 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem46 43129
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem46.1 𝑡𝑈
stoweidlem46.2 𝑄
stoweidlem46.3 𝑞𝜑
stoweidlem46.4 𝑡𝜑
stoweidlem46.5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem46.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem46.9 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem46.15 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem46.16 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem46.17 (𝜑𝑇 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem46 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem46.3 . . . . . . . 8 𝑞𝜑
2 nfv 1921 . . . . . . . 8 𝑞 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
31, 2nfan 1906 . . . . . . 7 𝑞(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
4 stoweidlem46.4 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
5 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑇
6 stoweidlem46.1 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
75, 6nfdif 4016 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑇𝑈)
87nfel2 2917 . . . . . . . 8 𝑡 𝑠 ∈ (𝑇𝑈)
94, 8nfan 1906 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
10 stoweidlem46.2 . . . . . . 7 𝑄
11 stoweidlem46.5 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12 stoweidlem46.6 . . . . . . 7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
13 stoweidlem46.8 . . . . . . 7 𝑇 = 𝐽
14 stoweidlem46.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16 stoweidlem46.10 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18 stoweidlem46.11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
19183adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
20 stoweidlem46.12 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21203adant1r 1178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
22 stoweidlem46.13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
2322adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
24 stoweidlem46.14 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2524adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
26 stoweidlem46.15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝐽)
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑈𝐽)
28 stoweidlem46.16 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑈)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑍𝑈)
30 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇𝑈))
313, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30stoweidlem43 43126 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)))
32 nfv 1921 . . . . . . 7 𝑔(𝑄 ∧ 0 < (𝑠))
3310nfel2 2917 . . . . . . . 8 𝑔𝑄
34 nfv 1921 . . . . . . . 8 0 < (𝑔𝑠)
3533, 34nfan 1906 . . . . . . 7 (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))
36 eleq1 2820 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (𝑄𝑔𝑄))
37 fveq1 6673 . . . . . . . . 9 ( = 𝑔 → (𝑠) = (𝑔𝑠))
3837breq2d 5042 . . . . . . . 8 ( = 𝑔 → (0 < (𝑠) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
3936, 38anbi12d 634 . . . . . . 7 ( = 𝑔 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))))
4032, 35, 39cbvexv1 2344 . . . . . 6 (∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
4131, 40sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑔(𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
42 stoweidlem46.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ V)
43 rabexg 5199 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
4544ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V)
46 eldifi 4017 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠𝑇)
4746ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠𝑇)
48 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 0 < (𝑔𝑠))
49 fveq2 6674 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑠))
5049breq2d 5042 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑠)))
5150elrab 3588 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ↔ (𝑠𝑇 ∧ 0 < (𝑔𝑠)))
5247, 48, 51sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
53 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝜑)
5416adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝑄)
5655, 12eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
57 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → (𝑍) = (𝑔𝑍))
5857eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝑔𝑍) = 0))
59 fveq1 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑔 → (𝑡) = (𝑔𝑡))
6059breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔𝑡)))
6159breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑔 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔𝑡) ≤ 1))
6260, 61anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑔 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6362ralbidv 3109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑔 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1)))
6458, 63anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑔 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6564elrab 3588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6656, 65sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝑄) → (𝑔𝐴 ∧ ((𝑔𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑔𝑡) ∧ (𝑔𝑡) ≤ 1))))
6766simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔𝐴)
6854, 67sseldd 3878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6968ad2ant2r 747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 𝑡0
71 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑔
72 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
734, 72nfan 1906 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
75 0xr 10766 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
7870, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77rfcnpre1 42100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
7953, 69, 78syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽)
80 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝑄) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
81 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
82 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 𝑔
8359breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑔 → (0 < (𝑡) ↔ 0 < (𝑔𝑡)))
8483rabbidv 3381 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑔 → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)})
8584eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . 11 ( = 𝑔 → ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
8681, 82, 10, 85rspcegf 42104 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑄 ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8755, 80, 86syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝑄) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
8887ad2ant2r 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)})
89 eqeq1 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9089rexbidv 3207 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)} ↔ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9190elrab 3588 . . . . . . . 8 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ↔ ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃𝑄 {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}))
9279, 88, 91sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}})
93 stoweidlem46.7 . . . . . . 7 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9492, 93eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
95 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
96 nfv 1921 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}
97 nfrab1 3287 . . . . . . . . . . 11 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9893, 97nfcxfr 2897 . . . . . . . . . 10 𝑤𝑊
9998nfel2 2917 . . . . . . . . 9 𝑤{𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊
10096, 99nfan 1906 . . . . . . . 8 𝑤(𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)
101 eleq2 2821 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑠𝑤𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)}))
102 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → (𝑤𝑊 ↔ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊))
103101, 102anbi12d 634 . . . . . . . 8 (𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} → ((𝑠𝑤𝑤𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)))
10495, 100, 103spcegf 3496 . . . . . . 7 ({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊)))
105104imp 410 . . . . . 6 (({𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∧ {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑔𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10645, 52, 94, 105syl12anc 836 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) ∧ (𝑔𝑄 ∧ 0 < (𝑔𝑠))) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
10741, 106exlimddv 1942 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
108 nfcv 2899 . . . . 5 𝑤𝑠
109108, 98elunif 42097 . . . 4 (𝑠 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑊))
110107, 109sylibr 237 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑇𝑈)) → 𝑠 𝑊)
111110ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇𝑈) → 𝑠 𝑊))
112111ssrdv 3883 1 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wnf 1790  wcel 2114  wnfc 2879  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843   cuni 4796   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  (,)cioo 12821  topGenctg 16814   Cn ccn 21975  Compccmp 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075
This theorem is referenced by:  stoweidlem50  43133
  Copyright terms: Public domain W3C validator