Theorem stoweidlem46 46877

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem46.2	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem46.3	⊢ Ⅎ𝑞𝜑
stoweidlem46.4	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem46.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem46.8	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem46.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem46.15	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem46.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem46.17	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑡, ℎ, 𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥, 𝑡, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑈(𝑤, 𝑡, ℎ)   𝐽(𝑥, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑟, 𝑞)   𝑍(𝑤, 𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
2		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
3	1, 2	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
7	5, 6	nfdif 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
8	7	nfel2 2940	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
9	4, 8	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑄
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	18	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
21	20	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
23	22	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
25	24	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 46874	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)))
32		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠))
33	10	nfel2 2940	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ 𝑔 ∈ 𝑄
34		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ0 < (𝑔‘𝑠)
35	33, 34	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))
36		eleq1 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ 𝑄 ↔ 𝑔 ∈ 𝑄))
37		fveq1 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑠) = (𝑔‘𝑠))
38	37	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑠) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
39	36, 38	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))))
40	32, 35, 39	cbvexv1 2371	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
41	31, 40	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
43		rabexg 5302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
45	44	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
46		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ 𝑇)
47	46	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝑇)
48		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 0 < (𝑔‘𝑠))
49		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑠))
50	49	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
51	50	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
52	47, 48, 51	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
53		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝜑)
54	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝑄)
56	55, 12	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))})
57		fveq1 6878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑍) = (𝑔‘𝑍))
58	57	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ (𝑔‘𝑍) = 0))
59		fveq1 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑡) = (𝑔‘𝑡))
60	59	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔‘𝑡)))
61	59	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))
62	60, 61	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
63	62	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
64	58, 63	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
65	64	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
66	56, 65	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
67	66	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝐴)
68	54, 67	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
69	68	ad2ant2r 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡0
71		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
72		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
73	4, 72	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
75		0xr 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 45856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
79	53, 69, 78	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
80		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
81		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
82		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ𝑔
83	59	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑡)))
84	83	rabbidv 3419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑔 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
85	84	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 45860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑄 ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
87	55, 80, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
88	87	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
89		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
90	89	rexbidv 3186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
91	90	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ↔ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
92	79, 88, 91	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
94	92, 93	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
95		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
96		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
97		nfrab1 3431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
98	93, 97	nfcxfr 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
99	98	nfel2 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊
100	96, 99	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
101		eleq2 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑠 ∈ 𝑤 ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
102		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 ∈ 𝑊 ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊))
103	101, 102	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)))
104	95, 100, 103	spcegf 3546	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊)))
105	104	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
107	41, 106	exlimddv 1968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
108		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑠
109	108, 98	elunif 45853	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
110	107, 109	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊)
111	110	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊))
112	111	ssrdv 3937	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,)cioo 13401  topGenctg 17525   Cn ccn 23452  Compccmp 23614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-cmp 23615  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551

This theorem is used by:  stoweidlem50  46881