Theorem stoweidlem46 45967

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem46.2	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem46.3	⊢ Ⅎ𝑞𝜑
stoweidlem46.4	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem46.5	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem46.6	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem46.7	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem46.8	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem46.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem46.10	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem46.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem46.14	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem46.15	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem46.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem46.17	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,𝑞,𝑟   𝑍,𝑞,𝑥   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,ℎ,𝑞)   𝐴(𝑤)   𝑄(𝑥,𝑡,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,ℎ)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞𝜑
2		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
3	1, 2	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
5		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
7	5, 6	nfdif 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
8	7	nfel2 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)
9	4, 8	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑄
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐽 ∈ Comp)
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
19	18	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
21	20	3adant1r 1177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
23	22	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
25	24	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑈)
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 45964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)))
32		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑔(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠))
33	10	nfel2 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ 𝑔 ∈ 𝑄
34		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ0 < (𝑔‘𝑠)
35	33, 34	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))
36		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ ∈ 𝑄 ↔ 𝑔 ∈ 𝑄))
37		fveq1 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑠) = (𝑔‘𝑠))
38	37	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑠) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
39	36, 38	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))))
40	32, 35, 39	cbvexv1 2348	. . . . . 6 ⊢ (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑠)) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
41	31, 40	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
43		rabexg 5355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
45	44	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V)
46		eldifi 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ 𝑇)
47	46	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ 𝑇)
48		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 0 < (𝑔‘𝑠))
49		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑠))
50	49	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (0 < (𝑔‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑠)))
51	50	elrab 3708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ↔ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠)))
52	47, 48, 51	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝜑)
54	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝑄)
56	55, 12	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))})
57		fveq1 6919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑍) = (𝑔‘𝑍))
58	57	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ (𝑔‘𝑍) = 0))
59		fveq1 6919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑡) = (𝑔‘𝑡))
60	59	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ (𝑔‘𝑡)))
61	59	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))
62	60, 61	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
63	62	ralbidv 3184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1)))
64	58, 63	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
65	64	elrab 3708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
66	56, 65	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑔‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑔‘𝑡) ∧ (𝑔‘𝑡) ≤ 1))))
67	66	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ 𝐴)
68	54, 67	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
69	68	ad2ant2r 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
70		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡0
71		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
72		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
73	4, 72	nfan 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
74		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
75		0xr 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 0 ∈ ℝ*)
77		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 44919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
79	53, 69, 78	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽)
80		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
81		nfv 1913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
82		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎℎ𝑔
83	59	breq2d 5178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (0 < (ℎ‘𝑡) ↔ 0 < (𝑔‘𝑡)))
84	83	rabbidv 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = 𝑔 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)})
85	84	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 44923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑄 ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
87	55, 80, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑄) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
88	87	ad2ant2r 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)})
89		eqeq1 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
90	89	rexbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)} ↔ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
91	90	elrab 3708	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}} ↔ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝐽 ∧ ∃ℎ ∈ 𝑄 {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}))
92	79, 88, 91	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
94	92, 93	eleqtrrdi 2855	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
95		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
96		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}
97		nfrab1 3464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
98	93, 97	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
99	98	nfel2 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊
100	96, 99	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)
101		eleq2 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑠 ∈ 𝑤 ↔ 𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)}))
102		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → (𝑤 ∈ 𝑊 ↔ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊))
103	101, 102	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} → ((𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊) ↔ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)))
104	95, 100, 103	spcegf 3605	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V → ((𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊)))
105	104	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (({𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ V ∧ (𝑠 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (𝑔‘𝑡)} ∈ 𝑊)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (𝑔‘𝑠))) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
107	41, 106	exlimddv 1934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
108		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑠
109	108, 98	elunif 44916	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ∪ 𝑊 ↔ ∃𝑤(𝑠 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑊))
110	107, 109	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊)
111	110	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈) → 𝑠 ∈ ∪ 𝑊))
112	111	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,)cioo 13407  topGenctg 17497   Cn ccn 23253  Compccmp 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  45971