Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsummul 20515
 Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsummul.1 1 = (1r𝑊)
evl1gsummul.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummul.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gsummul.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsummul (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummul
StepHypRef Expression
1 evl1gsummul.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2 evl1gsumadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
31, 2mgpbas 19237 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 evl1gsummul.1 . . . 4 1 = (1r𝑊)
51, 4ringidval 19245 . . 3 1 = (0g𝐺)
6 evl1gsumadd.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 evl1gsumadd.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑅)
87ply1crng 20358 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
91crngmgp 19297 . . . 4 (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
106, 8, 93syl 18 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
11 crngring 19300 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
126, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 evl1gsumadd.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
1413fvexi 6677 . . . . 5 𝐾 ∈ V
1512, 14jctir 523 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16 evl1gsumadd.p . . . . 5 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
1716pwsring 19357 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18 evl1gsummul.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
1918ringmgp 19295 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
2015, 17, 193syl 18 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
21 nn0ex 11895 . . . . 5 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
2422, 23ssexd 5219 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ V)
25 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2625, 7, 16, 13evl1rhm 20487 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
271, 18rhmmhm 19466 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
286, 26, 273syl 18 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
29 evl1gsumadd.y . . 3 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
30 evl1gsummul.f . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 1 )
313, 5, 10, 20, 24, 28, 29, 30gsummptmhm 19052 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
3231eqcomd 2825 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   finSupp cfsupp 8825  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475   Σg cgsu 16706   ↑s cpws 16712  Mndcmnd 17903   MndHom cmhm 17946  CMndccmn 18898  mulGrpcmgp 19231  1rcur 19243  Ringcrg 19289  CRingccrg 19290   RingHom crh 19456  Poly1cpl1 20337  eval1ce1 20469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-ofr 7402  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-srg 19248  df-ring 19291  df-cring 19292  df-rnghom 19459  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-assa 20077  df-asp 20078  df-ascl 20079  df-psr 20128  df-mvr 20129  df-mpl 20130  df-opsr 20132  df-evls 20278  df-evl 20279  df-psr1 20340  df-ply1 20342  df-evl1 20471 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator