Theorem evl1gsummul 19997

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evl1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evl1gsumadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 18762	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evl1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 18770	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evl1gsumadd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	ply1crng 19841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
9	1	crngmgp 18822	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
11		crngring 18825	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		evl1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
14	13	fvexi 6389	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
15	12, 14	jctir 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16		evl1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
17	16	pwsring 18882	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18		evl1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
19	18	ringmgp 18820	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
20	15, 17, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
21		nn0ex 11545	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 4966	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
26	25, 7, 16, 13	evl1rhm 19969	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	1, 18	rhmmhm 18991	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
28	6, 26, 27	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
29		evl1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
30		evl1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
31	3, 5, 10, 20, 24, 28, 29, 30	gsummptmhm 18606	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
32	31	eqcomd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350   ⊆ wss 3732   class class class wbr 4809   ↦ cmpt 4888  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842   finSupp cfsupp 8482  ℕ₀cn0 11538  Basecbs 16130   Σ_g cgsu 16367   ↑_s cpws 16373  Mndcmnd 17560   MndHom cmhm 17599  CMndccmn 18459  mulGrpcmgp 18756  1_rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   RingHom crh 18981  Poly₁cpl1 19820  eval₁ce1 19952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-cring 18817  df-rnghom 18984  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-assa 19586  df-asp 19587  df-ascl 19588  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-evls 19779  df-evl 19780  df-psr1 19823  df-ply1 19825  df-evl1 19954

This theorem is referenced by: (None)