Theorem evl1gsummul 22549

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evl1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evl1gsumadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20244	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evl1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20288	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evl1gsumadd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	ply1crng 22387	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
9	1	crngmgp 20346	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
11		crngring 20350	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		evl1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
14	13	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
15	12, 14	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16		evl1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
17	16	pwsring 20430	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18		evl1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
19	18	ringmgp 20344	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
20	15, 17, 19	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
21		nn0ex 12521	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 5297	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
26	25, 7, 16, 13	evl1rhm 22521	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	1, 18	rhmmhm 20587	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
28	6, 26, 27	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
29		evl1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
30		evl1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
31	3, 5, 10, 20, 24, 28, 29, 30	gsummptmhm 20033	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
32	31	eqcomd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9324  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17286   Σ_g cgsu 17510   ↑_s cpws 17516  Mndcmnd 18813   MndHom cmhm 18862  CMndccmn 19873  mulGrpcmgp 20239  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  CRingccrg 20339   RingHom crh 20576  Poly₁cpl1 22366  eval₁ce1 22503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-assa 22032  df-asp 22033  df-ascl 22034  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-opsr 22092  df-evls 22254  df-evl 22255  df-psr1 22369  df-ply1 22371  df-evl1 22505

This theorem is used by: (None)