Theorem evl1gsummul 22331

Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsummul.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
evl1gsummul.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummul.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evl1gsummul.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummul	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   1 (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummul.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2		evl1gsumadd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	mgpbas 20115	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		evl1gsummul.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
5	1, 4	ringidval 20153	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
6		evl1gsumadd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	ply1crng 22167	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑊 ∈ CRing)
9	1	crngmgp 20211	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
11		crngring 20215	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		evl1gsumadd.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
14	13	fvexi 6901	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
15	12, 14	jctir 520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V))
16		evl1gsumadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
17	16	pwsring 20294	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ V) → 𝑃 ∈ Ring)
18		evl1gsummul.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
19	18	ringmgp 20209	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
20	15, 17, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Mnd)
21		nn0ex 12516	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
23		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
24	22, 23	ssexd 5306	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
25		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
26	25, 7, 16, 13	evl1rhm 22303	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
27	1, 18	rhmmhm 20452	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
28	6, 26, 27	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
29		evl1gsumadd.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
30		evl1gsummul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 1 )
31	3, 5, 10, 20, 24, 28, 29, 30	gsummptmhm 19931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))) = (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
32	31	eqcomd 2740	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   ⊆ wss 3933   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9384  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17230   Σ_g cgsu 17461   ↑_s cpws 17467  Mndcmnd 18721   MndHom cmhm 18768  CMndccmn 19771  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204   RingHom crh 20442  Poly₁cpl1 22145  eval₁ce1 22285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18770  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-mulg 19060  df-subg 19115  df-ghm 19205  df-cntz 19309  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-srg 20157  df-ring 20205  df-cring 20206  df-rhm 20445  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-assa 21840  df-asp 21841  df-ascl 21842  df-psr 21896  df-mvr 21897  df-mpl 21898  df-opsr 21900  df-evls 22065  df-evl 22066  df-psr1 22148  df-ply1 22150  df-evl1 22287

This theorem is referenced by: (None)