Theorem evlspw 21966

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlspw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlspw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlspw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlspw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlspw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlspw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlspw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlspw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlspw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlspw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlspw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlspw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlspw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evlspw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlspw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlspw.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlspw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlspw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlspw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlspw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlspw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evlspw.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlspw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 21961	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
11		evlspw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12		evlspw.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
13	11, 12	rhmmhm 20371	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
15		evlspw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		evlspw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		evlspw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
18	11, 17	mgpbas 20035	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		evlspw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2724	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
21	18, 19, 20	mhmmulg 19032	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))
22	14, 15, 16, 21	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑_m cmap 8816  ℕ₀cn0 12469  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172   ↑_s cpws 17391   MndHom cmhm 18701  ._gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  CRingccrg 20129   RingHom crh 20361  SubRingcsubrg 20459   mPoly cmpl 21768   evalSub ces 21943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-evls 21945

This theorem is referenced by:  evlsvarpw  21967  evlsexpval  41628