Theorem evlspw 20299

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlspw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlspw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlspw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlspw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlspw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlspw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlspw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlspw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlspw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlspw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlspw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlspw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlspw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evlspw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlspw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlspw.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlspw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlspw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlspw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlspw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlspw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evlspw.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlspw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 20294	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
11		evlspw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12		evlspw.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
13	11, 12	rhmmhm 19467	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
15		evlspw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		evlspw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		evlspw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
18	11, 17	mgpbas 19238	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		evlspw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2820	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
21	18, 19, 20	mhmmulg 18261	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))
22	14, 15, 16, 21	syl3anc 1366	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ↑_m cmap 8399  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16476   ↾_s cress 16477   ↑_s cpws 16713   MndHom cmhm 17947  ._gcmg 18217  mulGrpcmgp 19232  CRingccrg 19291   RingHom crh 19457  SubRingcsubrg 19524   mPoly cmpl 20126   evalSub ces 20277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13688  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-hom 16582  df-cco 16583  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-prds 16714  df-pws 16716  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-mhm 17949  df-submnd 17950  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-mulg 18218  df-subg 18269  df-ghm 18349  df-cntz 18440  df-cmn 18901  df-abl 18902  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-cring 19293  df-rnghom 19460  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-assa 20078  df-asp 20079  df-ascl 20080  df-psr 20129  df-mvr 20130  df-mpl 20131  df-evls 20279

This theorem is referenced by:  evlsvarpw  20300