Theorem evlspw 22317

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlspw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlspw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlspw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlspw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlspw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlspw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlspw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlspw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlspw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlspw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlspw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlspw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlspw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evlspw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlspw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlspw.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlspw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlspw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlspw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlspw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlspw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evlspw.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlspw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22307	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
11		evlspw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12		evlspw.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
13	11, 12	rhmmhm 20624	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
14	10, 13	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
15		evlspw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		evlspw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		evlspw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
18	11, 17	mgpbas 20281	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		evlspw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
21	18, 19, 20	mhmmulg 19241	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))
22	14, 15, 16, 21	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325   ↑_s cpws 17534   MndHom cmhm 18892  ._gcmg 19193  mulGrpcmgp 20276  CRingccrg 20376   RingHom crh 20613  SubRingcsubrg 20734   mPoly cmpl 22124   evalSub ces 22291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-hash 14398  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-srg 20329  df-ring 20377  df-cring 20378  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-assa 22071  df-asp 22072  df-ascl 22073  df-psr 22127  df-mvr 22128  df-mpl 22129  df-evls 22293

This theorem is used by:  evlsvarpw  22318  evlsexpval  22347