Theorem evlspw 21875

Description: Polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlspw.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlspw.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlspw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evlspw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evlspw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlspw.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
evlspw.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
evlspw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlspw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evlspw.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlspw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlspw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlspw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evlspw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlspw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evlspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlspw.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		evlspw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlspw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlspw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlspw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlspw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evlspw.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlspw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 21870	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃))
11		evlspw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12		evlspw.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑃)
13	11, 12	rhmmhm 20370	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑃) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
14	10, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
15		evlspw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		evlspw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		evlspw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
18	11, 17	mgpbas 20034	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
19		evlspw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.g‘𝐻) = (.g‘𝐻)
21	18, 19, 20	mhmmulg 19031	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))
22	14, 15, 16, 21	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘𝐻)(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177   ↑_s cpws 17396   MndHom cmhm 18703  ._gcmg 18986  mulGrpcmgp 20028  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  SubRingcsubrg 20457   mPoly cmpl 21678   evalSub ces 21852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-assa 21627  df-asp 21628  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-evls 21854

This theorem is referenced by:  evlsvarpw  21876  evlsexpval  41441