MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1pw 21708
Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1pw.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1pw.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evls1pw.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
evls1pw.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
evls1pw.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1pw.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evls1pw.e ↑ = (.gβ€˜πΊ)
evls1pw.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evls1pw.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evls1pw.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
evls1pw.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
evls1pw (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem evls1pw
StepHypRef Expression
1 evls1pw.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
2 evls1pw.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
3 evls1pw.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
4 evls1pw.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
6 evls1pw.u . . . . 5 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
7 evls1pw.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7evls1rhm 21704 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
91, 2, 8syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
10 evls1pw.g . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
11 eqid 2737 . . . 4 (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))
1210, 11rhmmhm 20162 . . 3 (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))))
139, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))))
14 evls1pw.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
15 evls1pw.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 evls1pw.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
1710, 16mgpbas 19909 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
18 evls1pw.e . . 3 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
19 eqid 2737 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))
2017, 18, 19mhmmulg 18924 . 2 ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘‹)))
2113, 14, 15, 20syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑆 ↑s 𝐾)))(π‘„β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119   ↑s cpws 17335   MndHom cmhm 18606  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  CRingccrg 19972   RingHom crh 20152  SubRingcsubrg 20234  Poly1cpl1 21564   evalSub1 ces1 21695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evls1 21697
This theorem is referenced by:  evls1varpw  21709  evls1expd  32309
  Copyright terms: Public domain W3C validator