Theorem evls1pw 22252

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1pw.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1pw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1pw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1pw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1pw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1pw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evls1pw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1pw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1pw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1pw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1pw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1pw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
2		evls1pw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		evls1pw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
4		evls1pw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
6		evls1pw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evls1pw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	3, 4, 5, 6, 7	evls1rhm 22248	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
9	1, 2, 8	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
10		evls1pw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
12	10, 11	rhmmhm 20425	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
14		evls1pw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evls1pw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1pw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17	10, 16	mgpbas 20087	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		evls1pw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
20	17, 18, 19	mhmmulg 19077	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))
21	13, 14, 15, 20	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216   ↑_s cpws 17435   MndHom cmhm 18745  ._gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415  SubRingcsubrg 20513  Poly₁cpl1 22103   evalSub₁ ces1 22239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-evls 22025  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-evls1 22241

This theorem is referenced by:  evls1varpw  22253  evls1expd  22293