Theorem evls1pw 22195

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1pw.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1pw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1pw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1pw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1pw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1pw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evls1pw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1pw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1pw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1pw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1pw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1pw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
2		evls1pw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		evls1pw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
4		evls1pw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
6		evls1pw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evls1pw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	3, 4, 5, 6, 7	evls1rhm 22191	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
9	1, 2, 8	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
10		evls1pw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
12	10, 11	rhmmhm 20378	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
14		evls1pw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evls1pw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1pw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17	10, 16	mgpbas 20042	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		evls1pw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2726	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
20	17, 18, 19	mhmmulg 19039	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))
21	13, 14, 15, 20	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℕ₀cn0 12473  Basecbs 17150   ↾_s cress 17179   ↑_s cpws 17398   MndHom cmhm 18708  ._gcmg 18992  mulGrpcmgp 20036  CRingccrg 20136   RingHom crh 20368  SubRingcsubrg 20466  Poly₁cpl1 22046   evalSub₁ ces1 22182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-evls 21972  df-psr1 22049  df-ply1 22051  df-evls1 22184

This theorem is referenced by:  evls1varpw  22196  evls1expd  33147