Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1pw 21035
 Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1pw.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1pw.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1pw.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1pw.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1pw.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1pw.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1pw.e = (.g𝐺)
evls1pw.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1pw.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1pw.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evls1pw.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
evls1pw (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s 𝐾)))(𝑄𝑋)))

Proof of Theorem evls1pw
StepHypRef Expression
1 evls1pw.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
2 evls1pw.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3 evls1pw.q . . . . 5 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
4 evls1pw.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2759 . . . . 5 (𝑆s 𝐾) = (𝑆s 𝐾)
6 evls1pw.u . . . . 5 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 evls1pw.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑈)
83, 4, 5, 6, 7evls1rhm 21031 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s 𝐾)))
91, 2, 8syl2anc 588 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s 𝐾)))
10 evls1pw.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
11 eqid 2759 . . . 4 (mulGrp‘(𝑆s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆s 𝐾))
1210, 11rhmmhm 19535 . . 3 (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆s 𝐾)) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆s 𝐾))))
139, 12syl 17 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆s 𝐾))))
14 evls1pw.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
15 evls1pw.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
16 evls1pw.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
1710, 16mgpbas 19303 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
18 evls1pw.e . . 3 = (.g𝐺)
19 eqid 2759 . . 3 (.g‘(mulGrp‘(𝑆s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆s 𝐾)))
2017, 18, 19mhmmulg 18325 . 2 ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆s 𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s 𝐾)))(𝑄𝑋)))
2113, 14, 15, 20syl3anc 1369 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆s 𝐾)))(𝑄𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℕ0cn0 11924  Basecbs 16531   ↾s cress 16532   ↑s cpws 16768   MndHom cmhm 18010  .gcmg 18281  mulGrpcmgp 19297  CRingccrg 19356   RingHom crh 19525  SubRingcsubrg 19589  Poly1cpl1 20891   evalSub1 ces1 21022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7834  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-pm 8417  df-ixp 8478  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-fsupp 8857  df-sup 8929  df-oi 8997  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-dec 12128  df-uz 12273  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-seq 13409  df-hash 13731  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-mulr 16627  df-sca 16629  df-vsca 16630  df-ip 16631  df-tset 16632  df-ple 16633  df-ds 16635  df-hom 16637  df-cco 16638  df-0g 16763  df-gsum 16764  df-prds 16769  df-pws 16771  df-mre 16905  df-mrc 16906  df-acs 16908  df-mgm 17908  df-sgrp 17957  df-mnd 17968  df-mhm 18012  df-submnd 18013  df-grp 18162  df-minusg 18163  df-sbg 18164  df-mulg 18282  df-subg 18333  df-ghm 18413  df-cntz 18504  df-cmn 18965  df-abl 18966  df-mgp 19298  df-ur 19310  df-srg 19314  df-ring 19357  df-cring 19358  df-rnghom 19528  df-subrg 19591  df-lmod 19694  df-lss 19762  df-lsp 19802  df-assa 20608  df-asp 20609  df-ascl 20610  df-psr 20661  df-mvr 20662  df-mpl 20663  df-opsr 20665  df-evls 20825  df-psr1 20894  df-ply1 20896  df-evls1 21024 This theorem is referenced by:  evls1varpw  21036
 Copyright terms: Public domain W3C validator