Theorem evls1pw 22389

Description: Univariate polynomial evaluation for subrings maps the exponentiation of a polynomial to the exponentiation of the evaluated polynomial. (Contributed by SN, 29-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1pw.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1pw.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1pw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1pw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evls1pw.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1pw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evls1pw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evls1pw.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1pw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1pw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1pw.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evls1pw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1pw.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
2		evls1pw.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
3		evls1pw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
4		evls1pw.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑s 𝐾) = (𝑆 ↑s 𝐾)
6		evls1pw.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		evls1pw.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
8	3, 4, 5, 6, 7	evls1rhm 22385	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
9	1, 2, 8	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)))
10		evls1pw.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)) = (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))
12	10, 11	rhmmhm 20528	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑊 RingHom (𝑆 ↑s 𝐾)) → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
13	9, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))))
14		evls1pw.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evls1pw.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		evls1pw.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
17	10, 16	mgpbas 20191	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
18		evls1pw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
19		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))
20	17, 18, 19	mhmmulg 19157	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝐺 MndHom (mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾))) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))
21	13, 14, 15, 20	syl3anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑆 ↑s 𝐾)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266   ↑_s cpws 17475   MndHom cmhm 18815  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186  CRingccrg 20284   RingHom crh 20518  SubRingcsubrg 20619  Poly₁cpl1 22239   evalSub₁ ces1 22376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-evls 22127  df-psr1 22242  df-ply1 22244  df-evls1 22378

This theorem is referenced by:  evls1varpw  22390  evls1expd  22430