Theorem sge0splitmpt 47226

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0splitmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitmpt.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0splitmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		sge0splitmpt.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
5		sge0splitmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		sge0splitmpt.ac	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
9		elunnel1 4104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		sge0splitmpt.bc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	7, 12	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
15	5, 13, 14	fmptdf 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 15	sge0split 47224	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17		ssun1 4127	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18	17	resmpti 45997	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	18	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
20		ssun2 4128	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20	resmpti 45997	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
23	19, 22	oveq12i 7428	. . 3 ⊢ ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
25	16, 24	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   +_𝑒 cxad 13163  [,]cicc 13403  Σ^{^}csumge0 47177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-sumge0 47178

This theorem is used by:  sge0ss  47227  sge0iunmptlemfi  47228  sge0p1  47229  sge0splitsn  47256  ismeannd  47282  isomenndlem  47345  hoidmvlelem2  47411