Theorem sge0splitmpt 46691

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0splitmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitmpt.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0splitmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		sge0splitmpt.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
5		sge0splitmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		sge0splitmpt.ac	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
9		elunnel1 4107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		sge0splitmpt.bc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	8, 10, 11	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	7, 12	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
15	5, 13, 14	fmptdf 7064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 15	sge0split 46689	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18	17	resmpti 45458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	18	fveq2i 6838	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
20		ssun2 4132	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20	resmpti 45458	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fveq2i 6838	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
23	19, 22	oveq12i 7372	. . 3 ⊢ ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
25	16, 24	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  +∞cpnf 11167   +_𝑒 cxad 13028  [,]cicc 13268  Σ^{^}csumge0 46642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-xadd 13031  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-sumge0 46643

This theorem is referenced by:  sge0ss  46692  sge0iunmptlemfi  46693  sge0p1  46694  sge0splitsn  46721  ismeannd  46747  isomenndlem  46810  hoidmvlelem2  46876