Theorem sge0splitmpt 46431

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0splitmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitmpt.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0splitmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		sge0splitmpt.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
5		sge0splitmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		sge0splitmpt.ac	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
9		elunnel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		sge0splitmpt.bc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	7, 12	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
15	5, 13, 14	fmptdf 7136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 15	sge0split 46429	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17		ssun1 4177	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18	17	resmpti 45188	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	18	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
20		ssun2 4178	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20	resmpti 45188	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
23	19, 22	oveq12i 7444	. . 3 ⊢ ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
25	16, 24	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949  ∅c0 4332   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293   +_𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13391  Σ^{^}csumge0 46382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383

This theorem is referenced by:  sge0ss  46432  sge0iunmptlemfi  46433  sge0p1  46434  sge0splitsn  46461  ismeannd  46487  isomenndlem  46550  hoidmvlelem2  46616