Theorem sge0splitmpt 47464

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0splitmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitmpt.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +e (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0splitmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		sge0splitmpt.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
5		sge0splitmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		sge0splitmpt.ac	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
9		elunnel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		sge0splitmpt.bc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	7, 12	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
15	5, 13, 14	fmptdf 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 15	sge0split 47462	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +e (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17		ssun1 4176	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18	17	resmpti 46236	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	18	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
20		ssun2 4177	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20	resmpti 46236	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
23	19, 22	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +e (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +e (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +e (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +e (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
25	16, 24	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +e (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   +_e cxad 13239  [,]cicc 13479  Σ^{^}csumge0 47415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-sumge0 47416

This theorem is used by:  sge0ss  47465  sge0iunmptlemfi  47466  sge0p1  47467  sge0splitsn  47494  ismeannd  47520  isomenndlem  47583  hoidmvlelem2  47649