Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0splitmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0splitmpt 45858
Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0splitmpt.xph 𝑥𝜑
sge0splitmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0splitmpt.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0splitmpt.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0splitmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt
StepHypRef Expression
1 sge0splitmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0splitmpt.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 eqid 2725 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
4 sge0splitmpt.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
5 sge0splitmpt.xph . . . 4 𝑥𝜑
6 sge0splitmpt.ac . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝜑)
9 elunnel1 4143 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
11 sge0splitmpt.bc . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
137, 12pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2725 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
155, 13, 14fmptdf 7120 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 15sge0split 45856 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17 ssun1 4167 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
1817resmpti 44611 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶)
1918fveq2i 6893 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶))
20 ssun2 4168 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2120resmpti 44611 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝐶)
2221fveq2i 6893 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥𝐵𝐶))
2319, 22oveq12i 7425 . . 3 ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶)))
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
2516, 24eqtrd 2765 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  cun 3939  cin 3940  c0 4319  cmpt 5227  cres 5675  cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  +∞cpnf 11270   +𝑒 cxad 13117  [,]cicc 13354  Σ^csumge0 45809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-xadd 13120  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-sumge0 45810
This theorem is referenced by:  sge0ss  45859  sge0iunmptlemfi  45860  sge0p1  45861  sge0splitsn  45888  ismeannd  45914  isomenndlem  45977  hoidmvlelem2  46043
  Copyright terms: Public domain W3C validator