Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0splitmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0splitmpt 44547
Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0splitmpt.xph 𝑥𝜑
sge0splitmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0splitmpt.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0splitmpt.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0splitmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt
StepHypRef Expression
1 sge0splitmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0splitmpt.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 eqid 2738 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
4 sge0splitmpt.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
5 sge0splitmpt.xph . . . 4 𝑥𝜑
6 sge0splitmpt.ac . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝜑)
9 elunnel1 4108 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
11 sge0splitmpt.bc . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
137, 12pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
155, 13, 14fmptdf 7062 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 15sge0split 44545 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17 ssun1 4131 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
1817resmpti 43294 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶)
1918fveq2i 6843 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶))
20 ssun2 4132 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2120resmpti 43294 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝐶)
2221fveq2i 6843 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥𝐵𝐶))
2319, 22oveq12i 7364 . . 3 ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶)))
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
2516, 24eqtrd 2778 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  cun 3907  cin 3908  c0 4281  cmpt 5187  cres 5634  cfv 6494  (class class class)co 7352  0cc0 11010  +∞cpnf 11145   +𝑒 cxad 12986  [,]cicc 13222  Σ^csumge0 44498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-xadd 12989  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-sumge0 44499
This theorem is referenced by:  sge0ss  44548  sge0iunmptlemfi  44549  sge0p1  44550  sge0splitsn  44577  ismeannd  44603  isomenndlem  44666  hoidmvlelem2  44732
  Copyright terms: Public domain W3C validator