Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0splitmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0splitmpt 44738
Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0splitmpt.xph 𝑥𝜑
sge0splitmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0splitmpt.b (𝜑𝐵𝑊)
sge0splitmpt.in (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0splitmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt
StepHypRef Expression
1 sge0splitmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0splitmpt.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
3 eqid 2733 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
4 sge0splitmpt.in . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
5 sge0splitmpt.xph . . . 4 𝑥𝜑
6 sge0splitmpt.ac . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝜑)
9 elunnel1 4110 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
109adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
11 sge0splitmpt.bc . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
128, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
137, 12pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2733 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)
155, 13, 14fmptdf 7066 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴𝐵)⟶(0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 15sge0split 44736 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17 ssun1 4133 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
1817resmpti 43483 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶)
1918fveq2i 6846 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶))
20 ssun2 4134 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2120resmpti 43483 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵𝐶)
2221fveq2i 6846 . . . 4 ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥𝐵𝐶))
2319, 22oveq12i 7370 . . 3 ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶)))
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒^‘((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
2516, 24eqtrd 2773 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑥𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  cun 3909  cin 3910  c0 4283  cmpt 5189  cres 5636  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  +∞cpnf 11191   +𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13273  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0ss  44739  sge0iunmptlemfi  44740  sge0p1  44741  sge0splitsn  44768  ismeannd  44794  isomenndlem  44857  hoidmvlelem2  44923
  Copyright terms: Public domain W3C validator