Theorem sge0splitmpt 46428

Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0splitmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0splitmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0splitmpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0splitmpt.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sge0splitmpt.ac	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0splitmpt.bc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0splitmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sge0splitmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0splitmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0splitmpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
4		sge0splitmpt.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
5		sge0splitmpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		sge0splitmpt.ac	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
9		elunnel1 4102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	9	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11		sge0splitmpt.bc	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	7, 12	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)
15	5, 13, 14	fmptdf 7045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 15	sge0split 46426	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))))
17		ssun1 4126	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18	17	resmpti 45194	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
19	18	fveq2i 6820	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
20		ssun2 4127	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
21	20	resmpti 45194	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
22	21	fveq2i 6820	. . . 4 ⊢ (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))
23	19, 22	oveq12i 7353	. . 3 ⊢ ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶) ↾ 𝐵))) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))
25	16, 24	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  +∞cpnf 11135   +_𝑒 cxad 13001  [,]cicc 13240  Σ^{^}csumge0 46379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-xadd 13004  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586  df-sumge0 46380

This theorem is referenced by:  sge0ss  46429  sge0iunmptlemfi  46430  sge0p1  46431  sge0splitsn  46458  ismeannd  46484  isomenndlem  46547  hoidmvlelem2  46613