Theorem sge0pnffigtmpt 43868

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnffigtmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnffigtmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnffigtmpt.p	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
sge0pnffigtmpt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffigtmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigtmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnffigtmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnffigtmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnffigtmpt.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
7		sge0pnffigtmpt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0pnffigt 43824	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
10		elpwinss 42486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	resmptd 5937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
13	12	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
14	9, 13	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
17	16	reximdva 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
18	8, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937   < clt 10940  [,]cicc 13011  Σ^{^}csumge0 43790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-sumge0 43791

This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  43870