Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0pnffigtmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0pnffigtmpt 41154
Description: If the generalized sum of nonnegative reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0pnffigtmpt.k 𝑘𝜑
sge0pnffigtmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0pnffigtmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnffigtmpt.p (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
sge0pnffigtmpt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0pnffigtmpt (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffigtmpt
StepHypRef Expression
1 sge0pnffigtmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0pnffigtmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
3 sge0pnffigtmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2817 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6619 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0pnffigtmpt.p . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7 sge0pnffigtmpt.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7sge0pnffigt 41110 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
9 simpr 473 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
10 elpwinss 39727 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1110adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑥𝐴)
1211resmptd 5671 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1312fveq2d 6422 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
149, 13breqtrd 4881 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
1514ex 399 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
1615adantl 469 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
1716reximdva 3215 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
188, 17mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2157  wrex 3108  cin 3779  wss 3780  𝒫 cpw 4362   class class class wbr 4855  cmpt 4934  cres 5326  cfv 6111  (class class class)co 6884  Fincfn 8202  cr 10230  0cc0 10231  +∞cpnf 10366   < clt 10369  [,]cicc 12416  Σ^csumge0 41076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-oi 8664  df-card 9058  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-rp 12067  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-sum 14660  df-sumge0 41077
This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  41156
  Copyright terms: Public domain W3C validator