Theorem sge0pnffigtmpt 45156

Description: If the generalized sum of nonnegative reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0pnffigtmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0pnffigtmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnffigtmpt.p	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
sge0pnffigtmpt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0pnffigtmpt	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffigtmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0pnffigtmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0pnffigtmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		sge0pnffigtmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0pnffigtmpt.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)
7		sge0pnffigtmpt.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	sge0pnffigt 45112	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
9		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)))
10		elpwinss 43736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	11	resmptd 6041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))
13	12	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
14	9, 13	breqtrd 5175	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
15	14	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
16	15	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
17	16	reximdva 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
18	8, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   < clt 11248  [,]cicc 13327  Σ^{^}csumge0 45078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079

This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  45158