Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0pnffigtmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0pnffigtmpt 43247
 Description: If the generalized sum of nonnegative reals is +∞, then any real number can be dominated by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0pnffigtmpt.k 𝑘𝜑
sge0pnffigtmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0pnffigtmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0pnffigtmpt.p (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
sge0pnffigtmpt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0pnffigtmpt (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem sge0pnffigtmpt
StepHypRef Expression
1 sge0pnffigtmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0pnffigtmpt.k . . . 4 𝑘𝜑
3 sge0pnffigtmpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2798 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6868 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0pnffigtmpt.p . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = +∞)
7 sge0pnffigtmpt.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
81, 5, 6, 7sge0pnffigt 43203 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
9 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)))
10 elpwinss 41854 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1110adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑥𝐴)
1211resmptd 5879 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → ((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥) = (𝑘𝑥𝐵))
1312fveq2d 6659 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
149, 13breqtrd 5060 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥))) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
1514ex 416 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
1615adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → 𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
1716reximdva 3234 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘((𝑘𝐴𝐵) ↾ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵))))
188, 17mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑌 < (Σ^‘(𝑘𝑥𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114   ↾ cres 5525  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Fincfn 8510  ℝcr 10543  0cc0 10544  +∞cpnf 10679   < clt 10682  [,]cicc 12749  Σ^csumge0 43169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-sumge0 43170 This theorem is referenced by:  sge0pnffsumgt  43249
 Copyright terms: Public domain W3C validator