Theorem smfpimbor1 47322

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimbor1

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimbor1.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimbor1.a	. 2 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimbor1.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5		smfpimbor1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
6		smfpimbor1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
7		smfpimbor1.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
8		eqid 2756	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	smfpimbor1lem2 47321	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  {crab 3408  𝒫 cpw 4549  ^◡ccnv 5639  dom cdm 5640  ran crn 5641   “ cima 5643  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  (,)cioo 13339   ↾_t crest 17425  topGenctg 17442  SAlgcsalg 46830  SalGencsalgen 46834  SMblFncsmblfn 47217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cc 10382  ax-ac2 10410  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-ac 10062  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-ioo 13343  df-ico 13345  df-fl 13792  df-rest 17427  df-topgen 17448  df-top 22927  df-bases 22979  df-salg 46831  df-salgen 46835  df-smblfn 47218

This theorem is referenced by:  smfco  47324  smfpimcc  47330