Theorem smfpimbor1 47886

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Proof of Theorem smfpimbor1

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
2		smfpimbor1.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpimbor1.a	. 2 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4		smfpimbor1.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5		smfpimbor1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
6		smfpimbor1.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
7		smfpimbor1.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
8		eqid 2760	. 2 ⊢ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	smfpimbor1lem2 47885	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  𝒫 cpw 4556  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  (,)cioo 13477   ↾_t crest 17592  topGenctg 17609  SAlgcsalg 47394  SalGencsalgen 47398  SMblFncsmblfn 47781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cc 10514  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-fl 13933  df-rest 17594  df-topgen 17615  df-top 23213  df-bases 23265  df-salg 47395  df-salgen 47399  df-smblfn 47782

This theorem is used by:  smfco  47888  smfpimcc  47894