Theorem smfpimbor1lem2 46843

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1lem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1lem2.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
smfpimbor1lem2.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1lem2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
2		smfpimbor1lem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24677	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2827	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smfpimbor1lem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7		smfpimbor1lem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimbor1lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimbor1lem2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		smfpimbor1lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
11	7, 8, 9, 10	smfresal 46832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)
12	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
15	12, 13, 9, 2, 14, 10	smfpimbor1lem1 46842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	15	ssd 45123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑇)
17		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑥
18		nfrab1 3415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
19	10, 18	nfcxfr 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
20	17, 19	eluni2f 45146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
22	19	nfuni 4866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
23	17, 22	nfel 2909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ∪ 𝑇
24		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ℝ
25	10	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
27		rabidim1 3417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29		elpwi 4557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ 𝑒)
33	31, 32	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ)))
36	23, 24, 35	rexlimd 3239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
37	21, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	rgen 3049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39		dfss3 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑇 ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 ⊆ ℝ)
42		uniretop 24678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	2	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
44	43	unieqi 4871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
45	42, 44	eqtr2i 2755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ℝ)
47	46	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐽)
48	16	unissd 4869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑇)
49	47, 48	eqsstrd 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ 𝑇)
50	41, 49	eqssd 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
51	50, 46	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐽)
52	5, 6, 11, 16, 51	salgenss 46380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑇)
53		smfpimbor1lem2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	52, 53	sseldd 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑇)
55		imaeq2 6005	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝐸))
56	55	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
57	56, 10	elrab2 3650	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
58	54, 57	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
59	58	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
60	1, 59	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  ∪ cuni 4859  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  (,)cioo 13245   ↾_t crest 17324  topGenctg 17341  Topctop 22809  SAlgcsalg 46352  SalGencsalgen 46356  SMblFncsmblfn 46739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-fl 13696  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-top 22810  df-bases 22862  df-salg 46353  df-salgen 46357  df-smblfn 46740

This theorem is referenced by:  smfpimbor1  46844