Theorem smfpimbor1lem2 46828

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1lem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1lem2.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
smfpimbor1lem2.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1lem2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
2		smfpimbor1lem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24700	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smfpimbor1lem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7		smfpimbor1lem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimbor1lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimbor1lem2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		smfpimbor1lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
11	7, 8, 9, 10	smfresal 46817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)
12	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
15	12, 13, 9, 2, 14, 10	smfpimbor1lem1 46827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	15	ssd 45104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑇)
17		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑥
18		nfrab1 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
19	10, 18	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
20	17, 19	eluni2f 45127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
22	19	nfuni 4890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
23	17, 22	nfel 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ∪ 𝑇
24		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ℝ
25	10	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
27		rabidim1 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29		elpwi 4582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ 𝑒)
33	31, 32	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ)))
36	23, 24, 35	rexlimd 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
37	21, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	rgen 3053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39		dfss3 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑇 ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 ⊆ ℝ)
42		uniretop 24701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	2	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
44	43	unieqi 4895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
45	42, 44	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ℝ)
47	46	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐽)
48	16	unissd 4893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑇)
49	47, 48	eqsstrd 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ 𝑇)
50	41, 49	eqssd 3976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
51	50, 46	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐽)
52	5, 6, 11, 16, 51	salgenss 46365	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑇)
53		smfpimbor1lem2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	52, 53	sseldd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑇)
55		imaeq2 6043	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝐸))
56	55	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
57	56, 10	elrab2 3674	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
58	54, 57	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
59	58	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
60	1, 59	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ∪ cuni 4883  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  (,)cioo 13362   ↾_t crest 17434  topGenctg 17451  Topctop 22831  SAlgcsalg 46337  SalGencsalgen 46341  SMblFncsmblfn 46724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-fl 13809  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-top 22832  df-bases 22884  df-salg 46338  df-salgen 46342  df-smblfn 46725

This theorem is referenced by:  smfpimbor1  46829