Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem2 45976
Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e (𝜑𝐸𝐵)
smfpimbor1lem2.p 𝑃 = (𝐹𝐸)
smfpimbor1lem2.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem2.p . 2 𝑃 = (𝐹𝐸)
2 smfpimbor1lem2.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 24598 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2828 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 smfpimbor1lem2.b . . . . . 6 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7 smfpimbor1lem2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimbor1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 smfpimbor1lem2.a . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
10 smfpimbor1lem2.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
117, 8, 9, 10smfresal 45965 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
127adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
138adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
1512, 13, 9, 2, 14, 10smfpimbor1lem1 45975 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝑇)
1615ssd 44233 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑇)
17 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑥
18 nfrab1 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
1910, 18nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑇
2017, 19eluni2f 44256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 ↔ ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2120biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2219nfuni 4915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒 𝑇
2317, 22nfel 2916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 𝑇
24 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 ∈ ℝ
2510eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
2625biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
27 rabidim1 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒𝑇𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒𝑇𝑒 ⊆ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥𝑒)
3331, 32sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 → (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ)))
3623, 24, 35rexlimd 3262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → (∃𝑒𝑇 𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3721, 36mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
3837rgen 3062 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39 dfss3 3970 . . . . . . . . . 10 ( 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39mpbir 230 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑇 ⊆ ℝ)
42 uniretop 24599 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
432eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4443unieqi 4921 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4542, 44eqtr2i 2760 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = ℝ)
4746eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ = 𝐽)
4816unissd 4918 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐽 𝑇)
4947, 48eqsstrd 4020 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝑇)
5041, 49eqssd 3999 . . . . . . 7 (𝜑 𝑇 = ℝ)
5150, 46eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝜑 𝑇 = 𝐽)
525, 6, 11, 16, 51salgenss 45513 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑇)
53 smfpimbor1lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
5452, 53sseldd 3983 . . . 4 (𝜑𝐸𝑇)
55 imaeq2 6055 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝐸))
5655eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5756, 10elrab2 3686 . . . 4 (𝐸𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5854, 57sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5958simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷))
601, 59eqeltrid 2836 1 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  𝒫 cpw 4602   cuni 4908  ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  cima 5679  cfv 6543  (class class class)co 7412  cr 11115  (,)cioo 13331  t crest 17373  topGenctg 17390  Topctop 22715  SAlgcsalg 45485  SalGencsalgen 45489  SMblFncsmblfn 45872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-fl 13764  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22716  df-bases 22769  df-salg 45486  df-salgen 45490  df-smblfn 45873
This theorem is referenced by:  smfpimbor1  45977
  Copyright terms: Public domain W3C validator