Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem2 46755
Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e (𝜑𝐸𝐵)
smfpimbor1lem2.p 𝑃 = (𝐹𝐸)
smfpimbor1lem2.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem2.p . 2 𝑃 = (𝐹𝐸)
2 smfpimbor1lem2.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 24798 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 smfpimbor1lem2.b . . . . . 6 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7 smfpimbor1lem2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimbor1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 smfpimbor1lem2.a . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
10 smfpimbor1lem2.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
117, 8, 9, 10smfresal 46744 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
127adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
138adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
1512, 13, 9, 2, 14, 10smfpimbor1lem1 46754 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝑇)
1615ssd 45020 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑇)
17 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑥
18 nfrab1 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
1910, 18nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑇
2017, 19eluni2f 45043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 ↔ ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2120biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2219nfuni 4919 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒 𝑇
2317, 22nfel 2918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 𝑇
24 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 ∈ ℝ
2510eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
2625biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
27 rabidim1 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒𝑇𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29 elpwi 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒𝑇𝑒 ⊆ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥𝑒)
3331, 32sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 → (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ)))
3623, 24, 35rexlimd 3264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → (∃𝑒𝑇 𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3721, 36mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
3837rgen 3061 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39 dfss3 3984 . . . . . . . . . 10 ( 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39mpbir 231 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑇 ⊆ ℝ)
42 uniretop 24799 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
432eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4443unieqi 4924 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4542, 44eqtr2i 2764 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = ℝ)
4746eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ = 𝐽)
4816unissd 4922 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐽 𝑇)
4947, 48eqsstrd 4034 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝑇)
5041, 49eqssd 4013 . . . . . . 7 (𝜑 𝑇 = ℝ)
5150, 46eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 𝑇 = 𝐽)
525, 6, 11, 16, 51salgenss 46292 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑇)
53 smfpimbor1lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
5452, 53sseldd 3996 . . . 4 (𝜑𝐸𝑇)
55 imaeq2 6076 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝐸))
5655eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5756, 10elrab2 3698 . . . 4 (𝐸𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5854, 57sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5958simprd 495 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷))
601, 59eqeltrid 2843 1 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  (,)cioo 13384  t crest 17467  topGenctg 17484  Topctop 22915  SAlgcsalg 46264  SalGencsalgen 46268  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-bases 22969  df-salg 46265  df-salgen 46269  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  smfpimbor1  46756
  Copyright terms: Public domain W3C validator