Theorem smfpimbor1lem2 47753

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1lem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1lem2.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
smfpimbor1lem2.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1lem2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
2		smfpimbor1lem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 25060	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2857	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smfpimbor1lem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7		smfpimbor1lem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimbor1lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimbor1lem2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		smfpimbor1lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
11	7, 8, 9, 10	smfresal 47742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)
12	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
15	12, 13, 9, 2, 14, 10	smfpimbor1lem1 47752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	15	ssd 46040	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑇)
17		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑥
18		nfrab1 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
19	10, 18	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
20	17, 19	eluni2f 46061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
22	19	nfuni 4874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
23	17, 22	nfel 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ∪ 𝑇
24		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ℝ
25	10	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
26	25	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
27		rabidim1 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29		elpwi 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ 𝑒)
33	31, 32	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ)))
36	23, 24, 35	rexlimd 3270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
37	21, 36	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	rgen 3079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39		dfss3 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
40	38, 39	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑇 ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 ⊆ ℝ)
42		uniretop 25061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	2	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
44	43	unieqi 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
45	42, 44	eqtr2i 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ℝ)
47	46	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐽)
48	16	unissd 4877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑇)
49	47, 48	eqsstrd 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ 𝑇)
50	41, 49	eqssd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
51	50, 46	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐽)
52	5, 6, 11, 16, 51	salgenss 47290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑇)
53		smfpimbor1lem2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	52, 53	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑇)
55		imaeq2 6050	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝐸))
56	55	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
57	56, 10	elrab2 3649	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
58	54, 57	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
60	1, 59	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  (,)cioo 13457   ↾_t crest 17571  topGenctg 17588  Topctop 23191  SAlgcsalg 47262  SalGencsalgen 47266  SMblFncsmblfn 47649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-ioo 13461  df-ico 13463  df-fl 13912  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-top 23192  df-bases 23244  df-salg 47263  df-salgen 47267  df-smblfn 47650

This theorem is used by:  smfpimbor1  47754