Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimbor1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimbor1lem2 41799
Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimbor1lem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e (𝜑𝐸𝐵)
smfpimbor1lem2.p 𝑃 = (𝐹𝐸)
smfpimbor1lem2.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfpimbor1lem2 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpimbor1lem2.p . 2 𝑃 = (𝐹𝐸)
2 smfpimbor1lem2.j . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22934 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2901 . . . . . . 7 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 smfpimbor1lem2.b . . . . . 6 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7 smfpimbor1lem2.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimbor1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9 smfpimbor1lem2.a . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
10 smfpimbor1lem2.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
117, 8, 9, 10smfresal 41788 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
127adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
138adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝐽)
1512, 13, 9, 2, 14, 10smfpimbor1lem1 41798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝑥𝑇)
1615ssd 40068 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑇)
17 nfcv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑥
18 nfrab1 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
1910, 18nfcxfr 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒𝑇
2017, 19eluni2f 40100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 ↔ ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2120biimpi 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → ∃𝑒𝑇 𝑥𝑒)
2219nfuni 4663 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒 𝑇
2317, 22nfel 2981 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 𝑇
24 nfv 2015 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑥 ∈ ℝ
2510eleq2i 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
2625biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
27 rabidim1 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒𝑇𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29 elpwi 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒𝑇𝑒 ⊆ ℝ)
3130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥𝑒)
3331, 32sseldd 3827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑇𝑥𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
3433ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 𝑇 → (𝑒𝑇 → (𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ)))
3623, 24, 35rexlimd 3234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑇 → (∃𝑒𝑇 𝑥𝑒𝑥 ∈ ℝ))
3721, 36mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
3837rgen 3130 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39 dfss3 3815 . . . . . . . . . 10 ( 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
4038, 39mpbir 223 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℝ
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑇 ⊆ ℝ)
42 uniretop 22935 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
432eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4443unieqi 4666 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = 𝐽
4542, 44eqtr2i 2849 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝐽 = ℝ)
4746eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ = 𝐽)
4816unissd 4683 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐽 𝑇)
4947, 48eqsstrd 3863 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝑇)
5041, 49eqssd 3843 . . . . . . 7 (𝜑 𝑇 = ℝ)
5150, 46eqtr4d 2863 . . . . . 6 (𝜑 𝑇 = 𝐽)
525, 6, 11, 16, 51salgenss 41344 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑇)
53 smfpimbor1lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
5452, 53sseldd 3827 . . . 4 (𝜑𝐸𝑇)
55 imaeq2 5702 . . . . . 6 (𝑒 = 𝐸 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝐸))
5655eleq1d 2890 . . . . 5 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5756, 10elrab2 3588 . . . 4 (𝐸𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5854, 57sylib 210 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5958simprd 491 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐸) ∈ (𝑆t 𝐷))
601, 59syl5eqel 2909 1 (𝜑𝑃 ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3116  wrex 3117  {crab 3120  wss 3797  𝒫 cpw 4377   cuni 4657  ccnv 5340  dom cdm 5341  ran crn 5342  cima 5344  cfv 6122  (class class class)co 6904  cr 10250  (,)cioo 12462  t crest 16433  topGenctg 16450  Topctop 21067  SAlgcsalg 41318  SalGencsalgen 41322  SMblFncsmblfn 41702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-ac2 9599  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-ac 9251  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-fl 12887  df-rest 16435  df-topgen 16456  df-top 21068  df-bases 21120  df-salg 41319  df-salgen 41323  df-smblfn 41703
This theorem is referenced by:  smfpimbor1  41800
  Copyright terms: Public domain W3C validator