Theorem smfpimbor1lem2 47554

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1lem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1lem2.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
smfpimbor1lem2.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1lem2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
2		smfpimbor1lem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24955	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2862	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smfpimbor1lem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7		smfpimbor1lem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimbor1lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimbor1lem2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		smfpimbor1lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
11	7, 8, 9, 10	smfresal 47543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)
12	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
15	12, 13, 9, 2, 14, 10	smfpimbor1lem1 47553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	15	ssd 45841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑇)
17		nfcv 2928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑥
18		nfrab1 3439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
19	10, 18	nfcxfr 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
20	17, 19	eluni2f 45862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
21	20	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
22	19	nfuni 4884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
23	17, 22	nfel 2942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ∪ 𝑇
24		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ℝ
25	10	eleq2i 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
26	25	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
27		rabidim1 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29		elpwi 4574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ 𝑒)
33	31, 32	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ)))
36	23, 24, 35	rexlimd 3275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
37	21, 36	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	rgen 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39		dfss3 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
40	38, 39	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑇 ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 ⊆ ℝ)
42		uniretop 24956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	2	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
44	43	unieqi 4889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
45	42, 44	eqtr2i 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ℝ)
47	46	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐽)
48	16	unissd 4887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑇)
49	47, 48	eqsstrd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ 𝑇)
50	41, 49	eqssd 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
51	50, 46	eqtr4d 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐽)
52	5, 6, 11, 16, 51	salgenss 47091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑇)
53		smfpimbor1lem2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	52, 53	sseldd 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑇)
55		imaeq2 6063	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝐸))
56	55	eleq1d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
57	56, 10	elrab2 3657	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
58	54, 57	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
59	58	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
60	1, 59	eqeltrid 2870	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {crab 3419   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4877  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   “ cima 5669  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  (,)cioo 13390   ↾_t crest 17498  topGenctg 17515  Topctop 23087  SAlgcsalg 47063  SalGencsalgen 47067  SMblFncsmblfn 47450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fl 13845  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-top 23088  df-bases 23140  df-salg 47064  df-salgen 47068  df-smblfn 47451

This theorem is used by:  smfpimbor1  47555