Theorem smfpimbor1lem2 46814

Description: Given a sigma-measurable function, the preimage of a Borel set belongs to the subspace sigma-algebra induced by the domain of the function. Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimbor1lem2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimbor1lem2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimbor1lem2.a	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimbor1lem2.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfpimbor1lem2.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfpimbor1lem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
smfpimbor1lem2.p	⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
smfpimbor1lem2.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfpimbor1lem2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐽   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑒)   𝑃(𝑒)   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfpimbor1lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpimbor1lem2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (◡𝐹 “ 𝐸)
2		smfpimbor1lem2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24782	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		smfpimbor1lem2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7		smfpimbor1lem2.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimbor1lem2.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9		smfpimbor1lem2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
10		smfpimbor1lem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
11	7, 8, 9, 10	smfresal 46803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)
12	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ SAlg)
13	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
15	12, 13, 9, 2, 14, 10	smfpimbor1lem1 46813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝑇)
16	15	ssd 45085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝑇)
17		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑥
18		nfrab1 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
19	10, 18	nfcxfr 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
20	17, 19	eluni2f 45108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
21	20	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒)
22	19	nfuni 4914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
23	17, 22	nfel 2920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ∪ 𝑇
24		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑥 ∈ ℝ
25	10	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
26	25	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
27		rabidim1 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
29		elpwi 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ 𝑒)
33	31, 32	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑒) → 𝑥 ∈ ℝ)
34	33	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ)))
36	23, 24, 35	rexlimd 3266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ 𝑒 → 𝑥 ∈ ℝ))
37	21, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑥 ∈ ℝ)
38	37	rgen 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ
39		dfss3 3972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑇 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑇𝑥 ∈ ℝ)
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑇 ⊆ ℝ
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 ⊆ ℝ)
42		uniretop 24783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	2	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝐽
44	43	unieqi 4919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ∪ 𝐽
45	42, 44	eqtr2i 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝐽 = ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ℝ)
47	46	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐽)
48	16	unissd 4917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ⊆ ∪ 𝑇)
49	47, 48	eqsstrd 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ∪ 𝑇)
50	41, 49	eqssd 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
51	50, 46	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ 𝐽)
52	5, 6, 11, 16, 51	salgenss 46351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑇)
53		smfpimbor1lem2.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
54	52, 53	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑇)
55		imaeq2 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝐸))
56	55	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
57	56, 10	elrab2 3695	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑇 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
58	54, 57	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
59	58	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐸) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
60	1, 59	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  (,)cioo 13387   ↾_t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  SAlgcsalg 46323  SalGencsalgen 46327  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fl 13832  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfpimbor1  46815