Theorem sticksstones13 42590

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones13.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones13.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones13.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones13.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones13.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones13.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones13	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑔,𝑖   𝑔,𝑎,𝑖   𝑁,𝑏,𝑗,𝑓   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏   𝑖,𝑙   𝐴,𝑘,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑘,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑘,𝑙,𝑏   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑓,𝑏   𝑘,𝐾,𝑔   𝑁,𝑎,𝑙,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   𝑔,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
4		sticksstones13.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
5		sticksstones13.4	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
6		sticksstones13.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
7		sticksstones13.6	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	sticksstones11 42587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
11	9, 10, 4, 5, 6, 7	sticksstones12 42589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		sticksstones13.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
13		elnn0 12404	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
14	13	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
15	14	orcomd 872	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
17	8, 11, 16	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ifcif 4467  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6486  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11167   − cmin 11365  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13424  Σcsu 15610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-ico 13268  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611

This theorem is referenced by:  sticksstones14  42591