Theorem sticksstones13 42154

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones13.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones13.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones13.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones13.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones13.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones13.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones13	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑔,𝑖   𝑔,𝑎,𝑖   𝑁,𝑏,𝑗,𝑓   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏   𝑖,𝑙   𝐴,𝑘,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑘,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑘,𝑙,𝑏   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑓,𝑏   𝑘,𝐾,𝑔   𝑁,𝑎,𝑙,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   𝑔,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
4		sticksstones13.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
5		sticksstones13.4	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
6		sticksstones13.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
7		sticksstones13.6	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	sticksstones11 42151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
9	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
11	9, 10, 4, 5, 6, 7	sticksstones12 42153	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		sticksstones13.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
13		elnn0 12451	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
14	13	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
15	14	orcomd 871	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
17	8, 11, 16	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  ifcif 4491  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  sticksstones14  42155