Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones13 40963
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones13.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones13.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones13.3 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
sticksstones13.4 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
sticksstones13.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones13.6 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones13 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝐡,π‘Ž   𝐡,𝑏   𝐾,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝐾,𝑏,𝑔,𝑖   𝑔,π‘Ž,𝑖   𝑁,𝑏,𝑗,𝑓   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑏   𝑖,𝑙   𝐴,π‘˜,π‘Ž,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑏,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑖,π‘˜,𝑙,𝑏   𝐡,𝑗   𝐹,𝑏,π‘˜   𝑓,𝑏   π‘˜,𝐾,𝑔   𝑁,π‘Ž,𝑙,π‘˜   πœ‘,𝑖,π‘˜   𝑔,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘Ž,𝑙)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑙)   𝑁(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones13
StepHypRef Expression
1 sticksstones13.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = 0)
4 sticksstones13.3 . . 3 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
5 sticksstones13.4 . . 3 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
6 sticksstones13.5 . . 3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
7 sticksstones13.6 . . 3 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
82, 3, 4, 5, 6, 7sticksstones11 40960 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
91adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
119, 10, 4, 5, 6, 7sticksstones12 40962 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
12 sticksstones13.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
13 elnn0 12470 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„• ∨ 𝐾 = 0))
1413biimpi 215 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ∈ β„• ∨ 𝐾 = 0))
1514orcomd 869 . . 3 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ β„•))
1612, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ β„•))
178, 11, 16mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  ifcif 4527  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  sticksstones14  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator