Theorem sticksstones13 42967

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones13.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones13.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones13.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones13.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones13.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones13.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones13	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑔,𝑖   𝑔,𝑎,𝑖   𝑁,𝑏,𝑗,𝑓   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏   𝑖,𝑙   𝐴,𝑘,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑘,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑘,𝑙,𝑏   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑓,𝑏   𝑘,𝐾,𝑔   𝑁,𝑎,𝑙,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   𝑔,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑔)   𝐴(𝑓, 𝑔, 𝑖)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑙)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sticksstones13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
4		sticksstones13.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
5		sticksstones13.4	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
6		sticksstones13.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
7		sticksstones13.6	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	sticksstones11 42964	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
9	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
11	9, 10, 4, 5, 6, 7	sticksstones12 42966	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		sticksstones13.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
13		elnn0 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
14	13	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
15	14	orcomd 885	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
16	12, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
17	8, 11, 16	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744  ∀wral 3082  ifcif 4492  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   − cmin 11459  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764

This theorem is used by:  sticksstones14  42968