Theorem sticksstones13 40115

Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones13.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones13.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones13.3	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
sticksstones13.4	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones13.5	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones13.6	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones13	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏,𝑔,𝑖   𝑔,𝑎,𝑖   𝑁,𝑏,𝑗,𝑓   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑏   𝑖,𝑙   𝐴,𝑘,𝑎,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝑘,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑘,𝑙,𝑏   𝐵,𝑗   𝐹,𝑏,𝑘   𝑓,𝑏   𝑘,𝐾,𝑔   𝑁,𝑎,𝑙,𝑘   𝜑,𝑖,𝑘   𝑔,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sticksstones13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones13.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
4		sticksstones13.3	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎‘𝑙))))
5		sticksstones13.4	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
6		sticksstones13.5	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
7		sticksstones13.6	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	sticksstones11 40112	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 = 0) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
9	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ)
11	9, 10, 4, 5, 6, 7	sticksstones12 40114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		sticksstones13.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
13		elnn0 12235	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
14	13	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ ∨ 𝐾 = 0))
15	14	orcomd 868	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
16	12, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ℕ))
17	8, 11, 16	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∀wral 3064  ifcif 4459  {csn 4561  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sticksstones14  40116