MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoserg 15845
Description: The value of the finite geometric series 𝐴𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geoserg.2 (𝜑𝐴 ≠ 1)
geoserg.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
geoserg (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13972 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 ax-1cn 11197 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 geoserg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 subcl 11490 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
74adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 geoserg.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 elfzouz 13669 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluznn0 12932 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2an 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
127, 11expcld 14143 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
132, 6, 12fsummulc1 15764 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
143a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1512, 14, 7subdid 11701 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
1612mulridd 11262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
177, 11expp1d 14144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
1817eqcomd 2734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1916, 18oveq12d 7438 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2015, 19eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2120sumeq2dv 15682 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
23 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
24 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑀))
25 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
26 geoserg.4 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
274adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 elfzuz 13530 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
29 eluznn0 12932 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
308, 28, 29syl2an 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 14143 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 15781 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)))
3313, 21, 323eqtrrd 2773 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
344, 8expcld 14143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
35 eluznn0 12932 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
368, 26, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
374, 36expcld 14143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 11602 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
392, 12fsumcl 15712 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
40 geoserg.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 1)
4140necomd 2993 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
42 subeq0 11517 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
433, 4, 42sylancr 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
4443necon3bid 2982 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
4541, 44mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4638, 39, 6, 45divmul3d 12055 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴))))
4733, 46mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘))
4847eqcomd 2734 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  cmin 11475   / cdiv 11902  0cn0 12503  cuz 12853  ...cfz 13517  ..^cfzo 13660  cexp 14059  Σcsu 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  geoser  15846  rplogsumlem2  27431  rpvmasumlem  27433  dchrisum0flblem1  27454
  Copyright terms: Public domain W3C validator