MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoserg 15815
Description: The value of the finite geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1) +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
geoserg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)
geoserg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
geoserg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
geoserg (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13942 . . . . . 6 (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
3 ax-1cn 11167 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
4 geoserg.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 subcl 11460 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
74adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 geoserg.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
9 elfzouz 13639 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
10 eluznn0 12902 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
118, 9, 10syl2an 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
127, 11expcld 14113 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
132, 6, 12fsummulc1 15734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
143a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1512, 14, 7subdid 11671 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
1612mulridd 11232 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
177, 11expp1d 14114 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
1817eqcomd 2732 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1916, 18oveq12d 7422 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2015, 19eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2120sumeq2dv 15652 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
22 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
23 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
24 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
25 oveq2 7412 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
26 geoserg.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
274adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 elfzuz 13500 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
29 eluznn0 12902 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
308, 28, 29syl2an 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
3127, 30expcld 14113 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 15751 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))
3313, 21, 323eqtrrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
344, 8expcld 14113 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
35 eluznn0 12902 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
368, 26, 35syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
374, 36expcld 14113 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
3834, 37subcld 11572 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
392, 12fsumcl 15682 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
40 geoserg.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)
4140necomd 2990 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
42 subeq0 11487 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
433, 4, 42sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
4443necon3bid 2979 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
4541, 44mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
4638, 39, 6, 45divmul3d 12025 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด))))
4733, 46mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜))
4847eqcomd 2732 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•0cn0 12473  โ„คโ‰ฅcuz 12823  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  โ†‘cexp 14029  ฮฃcsu 15635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636
This theorem is referenced by:  geoser  15816  rplogsumlem2  27368  rpvmasumlem  27370  dchrisum0flblem1  27391
  Copyright terms: Public domain W3C validator