Theorem geoserg 15882

Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoserg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geoserg.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
geoserg.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
geoserg	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geoserg

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 13992	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3		ax-1cn 11187	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		geoserg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		subcl 11481	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
7	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		geoserg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		elfzouz 13680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluznn0 12933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12	7, 11	expcld 14164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
13	2, 6, 12	fsummulc1 15801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
14	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
15	12, 14, 7	subdid 11693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
16	12	mulridd 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
17	7, 11	expp1d 14165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
18	17	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
19	16, 18	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
20	15, 19	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
21	20	sumeq2dv 15718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
23		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
24		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑀))
25		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
26		geoserg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		elfzuz 13537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		eluznn0 12933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
30	8, 28, 29	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
31	27, 30	expcld 14164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
32	22, 23, 24, 25, 26, 31	telfsumo 15818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)))
33	13, 21, 32	3eqtrrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
34	4, 8	expcld 14164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
35		eluznn0 12933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	8, 26, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
37	4, 36	expcld 14164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
39	2, 12	fsumcl 15749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40		geoserg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
41	40	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
42		subeq0 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
43	3, 4, 42	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
44	43	necon3bid 2976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
45	41, 44	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
46	38, 39, 6, 45	divmul3d 12051	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴))))
47	33, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘))
48	47	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕ₀cn0 12501  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ↑cexp 14079  Σcsu 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703

This theorem is referenced by:  geoser  15883  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisum0flblem1  27471