MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoserg 15898
Description: The value of the finite geometric series 𝐴𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geoserg.2 (𝜑𝐴 ≠ 1)
geoserg.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
geoserg (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 14011 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 ax-1cn 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
4 geoserg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5 subcl 11504 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
74adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 geoserg.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 elfzouz 13699 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
10 eluznn0 12956 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
127, 11expcld 14182 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
132, 6, 12fsummulc1 15817 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
143a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1512, 14, 7subdid 11716 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
1612mulridd 11275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
177, 11expp1d 14183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
1817eqcomd 2740 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1916, 18oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2015, 19eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2120sumeq2dv 15734 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
22 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
23 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
24 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑀))
25 oveq2 7438 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
26 geoserg.4 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
274adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 elfzuz 13556 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
29 eluznn0 12956 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
308, 28, 29syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3127, 30expcld 14182 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 15834 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)))
3313, 21, 323eqtrrd 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
344, 8expcld 14182 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
35 eluznn0 12956 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
368, 26, 35syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
374, 36expcld 14182 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 11617 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
392, 12fsumcl 15765 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
40 geoserg.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 1)
4140necomd 2993 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
42 subeq0 11532 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
433, 4, 42sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
4443necon3bid 2982 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
4541, 44mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
4638, 39, 6, 45divmul3d 12074 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴))))
4733, 46mpbird 257 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘))
4847eqcomd 2740 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  0cn0 12523  cuz 12875  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  cexp 14098  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  geoser  15899  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisum0flblem1  27566
  Copyright terms: Public domain W3C validator