MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoserg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoserg 15852
Description: The value of the finite geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1) +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
geoserg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)
geoserg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
geoserg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
geoserg (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem geoserg
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13979 . . . . . 6 (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
3 ax-1cn 11204 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
4 geoserg.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 subcl 11497 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
63, 4, 5sylancr 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
74adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 geoserg.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
9 elfzouz 13676 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
10 eluznn0 12939 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
118, 9, 10syl2an 594 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
127, 11expcld 14150 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
132, 6, 12fsummulc1 15771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
143a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1512, 14, 7subdid 11708 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
1612mulridd 11269 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
177, 11expp1d 14151 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
1817eqcomd 2734 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1916, 18oveq12d 7444 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2015, 19eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2120sumeq2dv 15689 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
22 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
23 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
24 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
25 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
26 geoserg.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
274adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 elfzuz 13537 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
29 eluznn0 12939 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
308, 28, 29syl2an 594 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
3127, 30expcld 14150 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3222, 23, 24, 25, 26, 31telfsumo 15788 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))
3313, 21, 323eqtrrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
344, 8expcld 14150 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
35 eluznn0 12939 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
368, 26, 35syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
374, 36expcld 14150 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
3834, 37subcld 11609 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
392, 12fsumcl 15719 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
40 geoserg.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)
4140necomd 2993 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐ด)
42 subeq0 11524 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
433, 4, 42sylancr 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) = 0 โ†” 1 = ๐ด))
4443necon3bid 2982 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0 โ†” 1 โ‰  ๐ด))
4541, 44mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
4638, 39, 6, 45divmul3d 12062 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด))))
4733, 46mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜))
4847eqcomd 2734 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•0cn0 12510  โ„คโ‰ฅcuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  โ†‘cexp 14066  ฮฃcsu 15672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  geoser  15853  rplogsumlem2  27438  rpvmasumlem  27440  dchrisum0flblem1  27461
  Copyright terms: Public domain W3C validator