Theorem subrgccdom 49703

Description: A subring of the complex numbers is a domain. (Contributed by AV, 26-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgcccrng.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝑆)
subrgcccrng.s	⊢ 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
subrgccdom	⊢ 𝑅 ∈ Domn

Proof of Theorem subrgccdom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgcccrng.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝑆)
2		subrgcccrng.s	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld)
3	1, 2	subrgccnzr 49702	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ NzRing
4		subrgccsscc 49698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	2, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
6	5	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ ℂ)
7	5	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ ℂ)
8		mul0or 11994	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
10	9	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0)))
11	10	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))
12	1	cnfldsrngbas 49525	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 = (Base‘𝑅))
13	5, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑆) = (ℂfld ↾s 𝑆)
15	14	cnfldsrngmul 49527	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝑆)))
16	2, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝑆))
17	1	fveq2i 6917	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘(ℂfld ↾s 𝑆))
18	16, 17	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19	1, 2	subrgcccrng0 49700	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
20	13, 18, 19	isdomn 20999	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((𝑥 · 𝑦) = 0 → (𝑥 = 0 ∨ 𝑦 = 0))))
21	3, 11, 20	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝑅 ∈ Domn

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237   · cmul 11242  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  ._rcmulr 17470  NzRingcnzr 20804  SubRingcsubrg 20863  Domncdomn 20986  ℂ_fldccnfld 21720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-subg 19374  df-cmn 20038  df-mgp 20403  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-nzr 20805  df-subrg 20864  df-domn 20989  df-cnfld 21721

This theorem is used by:  subrgccidom  49704