Theorem telgsumfz0s 19907

Description: Telescoping finite group sum ranging over nonnegative integers, using explicit substitution. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz0s.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz0s.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz0s.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz0s.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsumfz0s.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz0s	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑖   𝑖,𝐺   𝑆,𝑖,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		telgsumfz0s.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		telgsumfz0s.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
3		telgsumfz0s.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		telgsumfz0s.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		nn0uz 12871	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6	4, 5	eleqtrdi 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (ℤ≥‘0))
7		telgsumfz0s.f	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐶 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	telgsumfzs 19905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐶))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐶 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ⦋csb 3893   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  Basecbs 17151   Σ_g cgsu 17393  -_gcsg 18863  Abelcabl 19697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699

This theorem is referenced by:  telgsumfz0  19908  telgsums  19909