Theorem telgsumfz0 18874

Description: Telescoping finite group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15017. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
telgsumfz0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz0.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz0.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsumfz0.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
telgsumfz0.a	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
telgsumfz0.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz0.d	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz0.e	⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝐾,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝑖 ∈ (0...𝑆))
2		telgsumfz0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
4	1, 3	csbied 3808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
5	4	eqcomd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz0.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 6992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 6990	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz0.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz0.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		telgsumfz0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfz0s 18873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20		c0ex 10431	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
22		telgsumfz0.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
23	22	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐷)
24	21, 23	csbied 3808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
25		ovexd 7008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ V)
26		telgsumfz0.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
27	26	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑆 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
28	25, 27	csbied 3808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
29	24, 28	oveq12d 6992	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
30	13, 19, 29	3eqtrd 2811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  Vcvv 3408  ⦋csb 3779   ↦ cmpt 5004  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336  ℕ₀cn0 11705  ...cfz 12706  Basecbs 16337   Σ_g cgsu 16568  -_gcsg 17905  Abelcabl 18679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681

This theorem is referenced by: (None)