MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfz0 19777
Description: Telescoping finite group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15697. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfz0.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
telgsumfz0.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz0.m = (-g𝐺)
telgsumfz0.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
telgsumfz0.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴𝐾)
telgsumfz0.a (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
telgsumfz0.c (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz0.d (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz0.e (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsumfz0 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝐾,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz0
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝑖 ∈ (0...𝑆))
2 telgsumfz0.a . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
32adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
41, 3csbied 3897 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
54eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 ovexd 7396 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7 telgsumfz0.c . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
87adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
96, 8csbied 3897 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐶)
109eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
115, 10oveq12d 7379 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝐵 𝐶) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1211mpteq2dva 5209 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 𝐶)) = (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1312oveq2d 7377 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
14 telgsumfz0.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐺)
15 telgsumfz0.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
16 telgsumfz0.m . . 3 = (-g𝐺)
17 telgsumfz0.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
18 telgsumfz0.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴𝐾)
1914, 15, 16, 17, 18telgsumfz0s 19776 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = (0 / 𝑘𝐴 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐴))
20 c0ex 11157 . . . . 5 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ V)
22 telgsumfz0.d . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
2322adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐷)
2421, 23csbied 3897 . . 3 (𝜑0 / 𝑘𝐴 = 𝐷)
25 ovexd 7396 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ V)
26 telgsumfz0.e . . . . 5 (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
2726adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑘 = (𝑆 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
2825, 27csbied 3897 . . 3 (𝜑(𝑆 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2924, 28oveq12d 7379 . 2 (𝜑 → (0 / 𝑘𝐴 (𝑆 + 1) / 𝑘𝐴) = (𝐷 𝐸))
3013, 19, 293eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  csb 3859  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  0cn0 12421  ...cfz 13433  Basecbs 17091   Σg cgsu 17330  -gcsg 18758  Abelcabl 19571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator