Theorem telgsumfz0 20211

Description: Telescoping finite group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15976. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
telgsumfz0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz0.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz0.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsumfz0.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
telgsumfz0.a	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
telgsumfz0.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz0.d	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz0.e	⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝐾,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝑖 ∈ (0...𝑆))
2		telgsumfz0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
4	1, 3	csbied 3882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
5	4	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz0.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz0.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz0.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		telgsumfz0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfz0s 20210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
22		telgsumfz0.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
23	22	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐷)
24	21, 23	csbied 3882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
25		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ V)
26		telgsumfz0.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
27	26	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑆 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
28	25, 27	csbied 3882	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
29	24, 28	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
30	13, 19, 29	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3846   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  Basecbs 17392   Σ_g cgsu 17616  -_gcsg 19151  Abelcabl 20000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002

This theorem is used by: (None)