Theorem telgsumfz0 20024

Description: Telescoping finite group sum ranging over nonnegative integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15836. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
telgsumfz0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz0.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz0.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
telgsumfz0.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
telgsumfz0.a	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
telgsumfz0.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz0.d	⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz0.e	⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝐾,𝑘   𝑆,𝑖,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝑖 ∈ (0...𝑆))
2		telgsumfz0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐵)
4	1, 3	csbied 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
5	4	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz0.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑆)) → (𝐵 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz0.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz0.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz0.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
18		telgsumfz0.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑆 + 1))𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfz0s 20023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20		c0ex 11252	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
22		telgsumfz0.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝐴 = 𝐷)
23	22	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 = 𝐷)
24	21, 23	csbied 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
25		ovexd 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 + 1) ∈ V)
26		telgsumfz0.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑆 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
27	26	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑆 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
28	25, 27	csbied 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
29	24, 28	oveq12d 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋0 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑆 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
30	13, 19, 29	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐵 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ⦋csb 3907   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  ℕ₀cn0 12523  ...cfz 13543  Basecbs 17244   Σ_g cgsu 17486  -_gcsg 18965  Abelcabl 19813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815

This theorem is referenced by: (None)