MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfz 19945
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15783. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m = (-g𝐺)
telgsumfz.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telgsumfz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
telgsumfz.l (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsumfz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2 telgsumfz.l . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
41, 3csbied 3930 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐿)
54eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 ovexd 7455 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7 telgsumfz.c . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
87adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
96, 8csbied 3930 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐶)
109eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
115, 10oveq12d 7438 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 𝐶) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1211mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1312oveq2d 7436 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
14 telgsumfz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
15 telgsumfz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
16 telgsumfz.m . . 3 = (-g𝐺)
17 telgsumfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
18 telgsumfz.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
1914, 15, 16, 17, 18telgsumfzs 19944 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
2017elfvexd 6936 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
21 telgsumfz.d . . . . 5 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
2221adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
2320, 22csbied 3930 . . 3 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐷)
24 ovexd 7455 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25 telgsumfz.e . . . . 5 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3930 . . 3 (𝜑(𝑁 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2823, 27oveq12d 7438 . 2 (𝜑 → (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴) = (𝐷 𝐸))
2913, 19, 283eqtrd 2772 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  csb 3892  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142  cuz 12853  ...cfz 13517  Basecbs 17180   Σg cgsu 17422  -gcsg 18892  Abelcabl 19736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738
This theorem is referenced by:  cayhamlem1  22781
  Copyright terms: Public domain W3C validator