Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfz 19124
 Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15171. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m = (-g𝐺)
telgsumfz.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telgsumfz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
telgsumfz.l (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsumfz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2 telgsumfz.l . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
32adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
41, 3csbied 3866 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐿)
54eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 ovexd 7180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7 telgsumfz.c . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
87adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
96, 8csbied 3866 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐶)
109eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
115, 10oveq12d 7163 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 𝐶) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1211mpteq2dva 5129 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1312oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
14 telgsumfz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
15 telgsumfz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
16 telgsumfz.m . . 3 = (-g𝐺)
17 telgsumfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
18 telgsumfz.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
1914, 15, 16, 17, 18telgsumfzs 19123 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
2017elfvexd 6689 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
21 telgsumfz.d . . . . 5 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
2221adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
2320, 22csbied 3866 . . 3 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐷)
24 ovexd 7180 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25 telgsumfz.e . . . . 5 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3866 . . 3 (𝜑(𝑁 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2823, 27oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴) = (𝐷 𝐸))
2913, 19, 283eqtrd 2837 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3442  ⦋csb 3830   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  Basecbs 16495   Σg cgsu 16726  -gcsg 18117  Abelcabl 18920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-abl 18922 This theorem is referenced by:  cayhamlem1  21512
 Copyright terms: Public domain W3C validator