Theorem telgsumfz 19920

Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15770. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telgsumfz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
telgsumfz.l	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2		telgsumfz.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
4	1, 3	csbied 3898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐿)
5	4	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		telgsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfzs 19919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20	17	elfvexd 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
21		telgsumfz.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
23	20, 22	csbied 3898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
24		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25		telgsumfz.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3898	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	23, 27	oveq12d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
29	13, 19, 28	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ⦋csb 3862   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  Basecbs 17179   Σ_g cgsu 17403  -_gcsg 18867  Abelcabl 19711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713

This theorem is referenced by:  cayhamlem1  22753