Theorem telgsumfz 19375

Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15368. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telgsumfz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
telgsumfz.l	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2		telgsumfz.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
3	2	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
4	1, 3	csbied 3849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐿)
5	4	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		telgsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfzs 19374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20	17	elfvexd 6751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
21		telgsumfz.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
22	21	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
23	20, 22	csbied 3849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
24		ovexd 7248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25		telgsumfz.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	23, 27	oveq12d 7231	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
29	13, 19, 28	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408  ⦋csb 3811   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  Basecbs 16760   Σ_g cgsu 16945  -_gcsg 18367  Abelcabl 19171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173

This theorem is referenced by:  cayhamlem1  21763