MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  telgsumfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem telgsumfz 19857
Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15749. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
telgsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m = (-g𝐺)
telgsumfz.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
telgsumfz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
telgsumfz.l (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
telgsumfz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2 telgsumfz.l . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐿)
32adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
41, 3csbied 3931 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 / 𝑘𝐴 = 𝐿)
54eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
6 ovexd 7443 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7 telgsumfz.c . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
87adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
96, 8csbied 3931 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐶)
109eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)
115, 10oveq12d 7426 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 𝐶) = (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))
1211mpteq2dva 5248 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴)))
1312oveq2d 7424 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))))
14 telgsumfz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
15 telgsumfz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
16 telgsumfz.m . . 3 = (-g𝐺)
17 telgsumfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
18 telgsumfz.f . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴𝐵)
1914, 15, 16, 17, 18telgsumfzs 19856 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑖 / 𝑘𝐴 (𝑖 + 1) / 𝑘𝐴))) = (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
2017elfvexd 6930 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ V)
21 telgsumfz.d . . . . 5 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐷)
2221adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
2320, 22csbied 3931 . . 3 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐷)
24 ovexd 7443 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25 telgsumfz.e . . . . 5 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
2625adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
2724, 26csbied 3931 . . 3 (𝜑(𝑁 + 1) / 𝑘𝐴 = 𝐸)
2823, 27oveq12d 7426 . 2 (𝜑 → (𝑀 / 𝑘𝐴 (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴) = (𝐷 𝐸))
2913, 19, 283eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 𝐶))) = (𝐷 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  csb 3893  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  cuz 12821  ...cfz 13483  Basecbs 17143   Σg cgsu 17385  -gcsg 18820  Abelcabl 19648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650
This theorem is referenced by:  cayhamlem1  22367
  Copyright terms: Public domain W3C validator