Theorem telgsumfz 19869

Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15711. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telgsumfz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
telgsumfz.l	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2		telgsumfz.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
4	1, 3	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐿)
5	4	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7365	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		telgsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfzs 19868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20	17	elfvexd 6859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
21		telgsumfz.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
23	20, 22	csbied 3887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
24		ovexd 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25		telgsumfz.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	23, 27	oveq12d 7367	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
29	13, 19, 28	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  ⦋csb 3851   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  -_gcsg 18814  Abelcabl 19660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662

This theorem is referenced by:  cayhamlem1  22751