Theorem telgsumfz 20151

Description: Telescoping group sum ranging over a finite set of sequential integers, using implicit substitution, analogous to telfsum 15924. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
telgsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
telgsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
telgsumfz.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
telgsumfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
telgsumfz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
telgsumfz.l	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
telgsumfz.c	⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
telgsumfz.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
telgsumfz.e	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
telgsumfz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑖,𝐺   𝑘,𝐿   𝑖,𝑀,𝑘   𝑖,𝑁,𝑘   − ,𝑖   𝜑,𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑖)   𝐷(𝑖)   𝐸(𝑖)   𝐺(𝑘)   𝐿(𝑖)   − (𝑘)

Proof of Theorem telgsumfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁))
2		telgsumfz.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐿)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐿)
4	1, 3	csbied 3883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐿)
5	4	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐿 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
6		ovexd 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ V)
7		telgsumfz.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 1)) → 𝐴 = 𝐶)
9	6, 8	csbied 3883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐶)
10	9	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 = ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	5, 10	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐿 − 𝐶) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12	11	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶)) = (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴)))
13	12	oveq2d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))))
14		telgsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		telgsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
16		telgsumfz.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
17		telgsumfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
18		telgsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ 𝐵)
19	14, 15, 16, 17, 18	telgsumfzs 20150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑖 + 1) / 𝑘⦌𝐴))) = (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
20	17	elfvexd 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
21		telgsumfz.d	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
22	21	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐷)
23	20, 22	csbied 3883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐷)
24		ovexd 7444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
25		telgsumfz.e	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐸)
26	25	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝐴 = 𝐸)
27	24, 26	csbied 3883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴 = 𝐸)
28	23, 27	oveq12d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 − ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐸))
29	13, 19, 28	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝐿 − 𝐶))) = (𝐷 − 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  1c1 11158   + caddc 11160  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  Basecbs 17334   Σ_g cgsu 17558  -_gcsg 19093  Abelcabl 19942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944

This theorem is used by:  cayhamlem1  23131