Theorem termccisoeu 49876

Description: The isomorphism between terminal categories is unique. (Contributed by Zhi Wang, 26-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcciso.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
termcciso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
termcciso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
termcciso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
termcciso.t	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
termccisoeu.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)

Assertion

Ref	Expression
termccisoeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑈(𝑓)

Proof of Theorem termccisoeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcciso.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		termcciso.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		termcciso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4	2, 3	elbasfv 17154	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ V)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
6	2	catccat 18044	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝐶 ∈ Cat)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8	2, 3, 5	catcbas 18037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Cat))
9	1, 8	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
10	9	elin1d 4158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
11		termcciso.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ TermCat)
12	2, 5, 10, 11	termcterm 49872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (TermO‘𝐶))
13		termcciso.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	13, 8	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
15	14	elin1d 4158	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
16		termccisoeu.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TermCat)
17	2, 5, 15, 16	termcterm 49872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (TermO‘𝐶))
18	7, 12, 17	termoeu1 17954	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Catccat 17599  Isociso 17682  CatCatccatc 18034  TermCatctermc 49831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-sect 17683  df-inv 17684  df-iso 17685  df-func 17794  df-idfu 17795  df-cofu 17796  df-termo 17921  df-catc 18035  df-thinc 49777  df-termc 49832

This theorem is referenced by: (None)