Theorem knoppcld 36891

Description: Closure theorem for Knopp's function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 26-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcld.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcld.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcld.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcld.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcld	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcld.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcld.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcld.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppcld.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		knoppcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppcn 36890	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8		cncff 24928	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
10		knoppcld.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	ffvelcdmd 7055	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   < clt 11206   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℕcn 12200  2c2 12262  ℕ₀cn0 12471  ⌊cfl 13790  ↑cexp 14064  abscabs 15237  Σcsu 15689  –cn→ccncf 24911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-ulm 26410

This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  36914  knoppndvlem21  36918