Theorem knoppcld 36448

Description: Closure theorem for Knopp's function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 26-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcld.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcld.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcld.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcld.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcld.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcld	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcld.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcld.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcld.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppcld.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		knoppcld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		knoppcld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppcn 36447	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
8		cncff 24914	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
10		knoppcld.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	ffvelcdmd 7099	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  ℂcc 11144  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   − cmin 11483   / cdiv 11911  ℕcn 12257  2c2 12312  ℕ₀cn0 12517  ⌊cfl 13816  ↑cexp 14088  abscabs 15259  Σcsu 15708  –cn→ccncf 24897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-rp 13026  df-xneg 13145  df-xadd 13146  df-xmul 13147  df-ioo 13381  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14356  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-limsup 15493  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-sum 15709  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-xrs 17538  df-qtop 17543  df-imas 17544  df-xps 17546  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-mulg 19084  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357  df-bl 21358  df-mopn 21359  df-cnfld 21364  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-cn 23232  df-cnp 23233  df-tx 23567  df-hmeo 23760  df-xms 24327  df-ms 24328  df-tms 24329  df-cncf 24899  df-ulm 26416

This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  36471  knoppndvlem21  36475