MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpofrlmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpofrlmd 20994
Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mpofrlmd.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
mpofrlmd.b ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
mpofrlmd.e (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
Assertion
Ref Expression
mpofrlmd (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd
StepHypRef Expression
1 mpofrlmd.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
2 xpexg 7590 . . . . . 6 ((𝑁𝑈𝑀𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
32anim1i 615 . . . . 5 (((𝑁𝑈𝑀𝑊) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
433impa 1109 . . . 4 ((𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
6 mpofrlmd.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
7 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 mpofrlmd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐹)
96, 7, 8frlmbasf 20977 . . 3 (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
10 ffn 6592 . . 3 (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
115, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
12 mpofrlmd.s . 2 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
13 mpofrlmd.a . 2 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
14 mpofrlmd.b . 2 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
1511, 12, 13, 14fnmpoovd 7914 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3429   × cxp 5582   Fn wfn 6421  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  cmpo 7269  Basecbs 16922   freeLMod cfrlm 20963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-prds 17168  df-pws 17170  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-dsmm 20949  df-frlm 20964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator