MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpofrlmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpofrlmd 21815
Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mpofrlmd.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
mpofrlmd.b ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
mpofrlmd.e (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
Assertion
Ref Expression
mpofrlmd (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd
StepHypRef Expression
1 mpofrlmd.e . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
2 xpexg 7769 . . . . 5 ((𝑁𝑈𝑀𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
32anim1i 615 . . . 4 (((𝑁𝑈𝑀𝑊) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
433impa 1109 . . 3 ((𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
5 mpofrlmd.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
6 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 mpofrlmd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐹)
85, 6, 7frlmbasf 21798 . . 3 (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
9 ffn 6737 . . 3 (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
101, 4, 8, 94syl 19 . 2 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
11 mpofrlmd.s . 2 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
12 mpofrlmd.a . 2 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
13 mpofrlmd.b . 2 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
1410, 11, 12, 13fnmpoovd 8111 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17245   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator