Theorem mpofrlmd 21996

Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpofrlmd.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s	⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
mpofrlmd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
mpofrlmd.e	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mpofrlmd	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑎, 𝑏)   𝑅(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝐹(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑖, 𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑍(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpofrlmd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
2		xpexg 7753	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
3	2	anim1i 627	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
4	3	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
5		mpofrlmd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		mpofrlmd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
8	5, 6, 7	frlmbasf 21979	. . 3 ⊢ (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
9		ffn 6706	. . 3 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
10	1, 4, 8, 9	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
11		mpofrlmd.s	. 2 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
12		mpofrlmd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		mpofrlmd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	10, 11, 12, 13	fnmpoovd 8088	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   × cxp 5657   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Basecbs 17307   freeLMod cfrlm 21965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966

This theorem is used by: (None)