Theorem mpofrlmd 21887

Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpofrlmd.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s	⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
mpofrlmd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
mpofrlmd.e	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mpofrlmd	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpofrlmd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
2		xpexg 7737	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
3	2	anim1i 626	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
4	3	3impa 1125	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
5		mpofrlmd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		mpofrlmd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
8	5, 6, 7	frlmbasf 21870	. . 3 ⊢ (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
9		ffn 6695	. . 3 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
10	1, 4, 8, 9	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
11		mpofrlmd.s	. 2 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
12		mpofrlmd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		mpofrlmd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	10, 11, 12, 13	fnmpoovd 8070	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   × cxp 5650   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Basecbs 17259   freeLMod cfrlm 21856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-prds 17490  df-pws 17492  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-dsmm 21842  df-frlm 21857

This theorem is referenced by: (None)