Theorem mpofrlmd 21716

Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpofrlmd.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s	⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
mpofrlmd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
mpofrlmd.e	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
mpofrlmd	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpofrlmd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
2		xpexg 7689	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
3	2	anim1i 615	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
4	3	3impa 1109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉))
5		mpofrlmd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		mpofrlmd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐹)
8	5, 6, 7	frlmbasf 21699	. . 3 ⊢ (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
9		ffn 6656	. . 3 ⊢ (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
10	1, 4, 8, 9	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
11		mpofrlmd.s	. 2 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
12		mpofrlmd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		mpofrlmd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑀) → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	10, 11, 12, 13	fnmpoovd 8023	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑀 ↦ 𝐵) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   × cxp 5617   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  Basecbs 17122   freeLMod cfrlm 21685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-pws 17355  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-dsmm 21671  df-frlm 21686

This theorem is referenced by: (None)