MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpofrlmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpofrlmd 21725
Description: Elements of the free module are mappings with two arguments defined by their operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mpofrlmd.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
mpofrlmd.v 𝑉 = (Base‘𝐹)
mpofrlmd.s ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
mpofrlmd.a ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
mpofrlmd.b ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
mpofrlmd.e (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
Assertion
Ref Expression
mpofrlmd (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑖,𝑗   𝑀,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑁,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑎,𝑏,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑈(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mpofrlmd
StepHypRef Expression
1 mpofrlmd.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉))
2 xpexg 7760 . . . . . 6 ((𝑁𝑈𝑀𝑊) → (𝑁 × 𝑀) ∈ V)
32anim1i 613 . . . . 5 (((𝑁𝑈𝑀𝑊) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
433impa 1107 . . . 4 ((𝑁𝑈𝑀𝑊𝑍𝑉) → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉))
6 mpofrlmd.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑀))
7 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 mpofrlmd.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐹)
96, 7, 8frlmbasf 21708 . . 3 (((𝑁 × 𝑀) ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅))
10 ffn 6727 . . 3 (𝑍:(𝑁 × 𝑀)⟶(Base‘𝑅) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
115, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑𝑍 Fn (𝑁 × 𝑀))
12 mpofrlmd.s . 2 ((𝑖 = 𝑎𝑗 = 𝑏) → 𝐴 = 𝐵)
13 mpofrlmd.a . 2 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑀) → 𝐴𝑋)
14 mpofrlmd.b . 2 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑀) → 𝐵𝑌)
1511, 12, 13, 14fnmpoovd 8100 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑀𝐵) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑀 (𝑖𝑍𝑗) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473   × cxp 5680   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  Basecbs 17189   freeLMod cfrlm 21694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-prds 17438  df-pws 17440  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator