Theorem mattposvs 22358

Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposvs.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mattposvs.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattposvs	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

Proof of Theorem mattposvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposvs.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mattposvs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		sqxpexg 7695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7		snex 5378	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
8		xpexg 7690	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
10		oftpos 22355	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
11	9, 10	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
12		tposconst 8204	. . . . 5 ⊢ tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
13	12	oveq1i 7363	. . . 4 ⊢ (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌)
14	11, 13	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
16		mattposvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17		mattposvs.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
20	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22331	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
21	20	tposeqd 8169	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
22	1, 2	mattposcl 22356	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos 𝑌 ∈ 𝐵)
23	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22331	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ tpos 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
24	22, 23	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
25	15, 21, 24	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  tpos ctpos 8165  Fincfn 8879  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180   ·_𝑠 cvsca 17183   Mat cmat 22310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mat 22311

This theorem is referenced by:  madulid  22548