Theorem mattposvs 22683

Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposvs.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mattposvs.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattposvs	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

Proof of Theorem mattposvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposvs.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mattposvs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		sqxpexg 7758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7		snex 5408	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
8		xpexg 7753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
10		oftpos 22680	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
11	9, 10	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
12		tposconst 8266	. . . . 5 ⊢ tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
13	12	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌)
14	11, 13	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
15	14	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
16		mattposvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17		mattposvs.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
18		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
20	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22656	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
21	20	tposeqd 8231	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
22	1, 2	mattposcl 22681	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos 𝑌 ∈ 𝐵)
23	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22656	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ tpos 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
24	22, 23	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
25	15, 21, 24	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  tpos ctpos 8227  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349   ·_𝑠 cvsca 17352   Mat cmat 22635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mat 22636

This theorem is used by:  madulid  22873