Theorem mattposvs 22750

Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposvs.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposvs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mattposvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mattposvs.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattposvs	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

Proof of Theorem mattposvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposvs.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mattposvs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5		sqxpexg 7758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
7		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ {𝑋} ∈ V
8		xpexg 7753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ {𝑋} ∈ V) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V)
10		oftpos 22747	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
11	9, 10	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
12		tposconst 8265	. . . . 5 ⊢ tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) = ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋})
13	12	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (tpos ((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌)
14	11, 13	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
15	14	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
16		mattposvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17		mattposvs.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
20	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22723	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
21	20	tposeqd 8230	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = tpos (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝑌))
22	1, 2	mattposcl 22748	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → tpos 𝑌 ∈ 𝐵)
23	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 22723	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ tpos 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
24	22, 23	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · tpos 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)tpos 𝑌))
25	15, 21, 24	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → tpos (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · tpos 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  tpos ctpos 8226  Fincfn 8957  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   ·_𝑠 cvsca 17412   Mat cmat 22702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-pws 17600  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mat 22703

This theorem is used by:  madulid  22940