MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 25764
Description: The argument to the logarithm in df-asin 25761 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10801 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 10826 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10800 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 sqcl 13703 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 11090 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 15014 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8subnegd 11209 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
108negcld 11189 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11 0ne1 11914 . . . . . 6 0 ≠ 1
12 0cnd 10839 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13 1cnd 10841 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14 subcan2 11116 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
1514necon3bid 2986 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1711, 16mpbiri 261 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18 sqmul 13704 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
191, 18mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20 i2 13784 . . . . . . . . 9 (i↑2) = -1
2120oveq1i 7232 . . . . . . . 8 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
225mulm1d 11297 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2321, 22syl5eq 2791 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2419, 23eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25 df-neg 11078 . . . . . 6 -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
2624, 25eqtrdi 2795 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27 sqneg 13701 . . . . . . 7 ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
297sqsqrtd 15016 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3028, 29eqtrd 2778 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3117, 26, 303netr4d 3019 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32 oveq1 7229 . . . . 5 ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
3332necon3i 2974 . . . 4 (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
353, 10, 34subne0d 11211 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
369, 35eqnetrrd 3010 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  cfv 6389  (class class class)co 7222  cc 10740  0cc0 10742  1c1 10743  ici 10744   + caddc 10745   · cmul 10747  cmin 11075  -cneg 11076  2c2 11898  cexp 13648  csqrt 14809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-pre-sup 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-sup 9071  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-div 11503  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-n0 12104  df-z 12190  df-uz 12452  df-rp 12600  df-seq 13588  df-exp 13649  df-cj 14675  df-re 14676  df-im 14677  df-sqrt 14811  df-abs 14812
This theorem is referenced by:  asinlem3  25767  asinf  25768  asinneg  25782  efiasin  25784  asinbnd  25795  dvasin  35611
  Copyright terms: Public domain W3C validator