MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 26926
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26923 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11212 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 11237 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 11211 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 sqcl 14155 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 11505 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 15473 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8subnegd 11625 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
108negcld 11605 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11 0ne1 12335 . . . . . 6 0 ≠ 1
12 0cnd 11252 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14 subcan2 11532 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
1514necon3bid 2983 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1711, 16mpbiri 258 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18 sqmul 14156 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
191, 18mpan 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20 i2 14238 . . . . . . . . 9 (i↑2) = -1
2120oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
225mulm1d 11713 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2321, 22eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2419, 23eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25 df-neg 11493 . . . . . 6 -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
2624, 25eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27 sqneg 14153 . . . . . . 7 ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
297sqsqrtd 15475 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3028, 29eqtrd 2775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3117, 26, 303netr4d 3016 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32 oveq1 7438 . . . . 5 ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
3332necon3i 2971 . . . 4 (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
353, 10, 34subne0d 11627 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
369, 35eqnetrrd 3007 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  asinlem3  26929  asinf  26930  asinneg  26944  efiasin  26946  asinbnd  26957  dvasin  37691
  Copyright terms: Public domain W3C validator