MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 26234
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26231 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11117 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11142 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14030 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11407 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15329 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
93, 8subnegd 11526 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
108negcld 11506 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
11 0ne1 12231 . . . . . 6 0 โ‰  1
12 0cnd 11155 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 subcan2 11433 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 = 1))
1514necon3bid 2989 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1711, 16mpbiri 258 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
18 sqmul 14031 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
191, 18mpan 689 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
20 i2 14113 . . . . . . . . 9 (iโ†‘2) = -1
2120oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
225mulm1d 11614 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2321, 22eqtrid 2789 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2419, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
25 df-neg 11395 . . . . . 6 -(๐ดโ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2))
2624, 25eqtrdi 2793 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
27 sqneg 14028 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
297sqsqrtd 15331 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3028, 29eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3117, 26, 303netr4d 3022 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
32 oveq1 7369 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) = -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
3332necon3i 2977 . . . 4 (((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
353, 10, 34subne0d 11528 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
369, 35eqnetrrd 3013 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  asinlem3  26237  asinf  26238  asinneg  26252  efiasin  26254  asinbnd  26265  dvasin  36191
  Copyright terms: Public domain W3C validator