MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 26750
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26747 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11168 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11193 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 687 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-1cn 11167 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14085 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11460 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15387 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
93, 8subnegd 11579 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
108negcld 11559 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
11 0ne1 12284 . . . . . 6 0 โ‰  1
12 0cnd 11208 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11210 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 subcan2 11486 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 = 1))
1514necon3bid 2979 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1711, 16mpbiri 258 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
18 sqmul 14086 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
191, 18mpan 687 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
20 i2 14168 . . . . . . . . 9 (iโ†‘2) = -1
2120oveq1i 7414 . . . . . . . 8 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
225mulm1d 11667 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2321, 22eqtrid 2778 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2419, 23eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
25 df-neg 11448 . . . . . 6 -(๐ดโ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2))
2624, 25eqtrdi 2782 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
27 sqneg 14083 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
297sqsqrtd 15389 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3028, 29eqtrd 2766 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3117, 26, 303netr4d 3012 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
32 oveq1 7411 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) = -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
3332necon3i 2967 . . . 4 (((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
353, 10, 34subne0d 11581 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
369, 35eqnetrrd 3003 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  2c2 12268  โ†‘cexp 14029  โˆšcsqrt 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186
This theorem is referenced by:  asinlem3  26753  asinf  26754  asinneg  26768  efiasin  26770  asinbnd  26781  dvasin  37084
  Copyright terms: Public domain W3C validator