MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 25438
Description: The argument to the logarithm in df-asin 25435 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10588 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 10613 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10587 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 sqcl 13476 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 10877 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 589 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 14789 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8subnegd 10996 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
108negcld 10976 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11 0ne1 11700 . . . . . 6 0 ≠ 1
12 0cnd 10626 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13 1cnd 10628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14 subcan2 10903 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
1514necon3bid 3058 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1711, 16mpbiri 260 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18 sqmul 13477 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
191, 18mpan 688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20 i2 13557 . . . . . . . . 9 (i↑2) = -1
2120oveq1i 7158 . . . . . . . 8 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
225mulm1d 11084 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2321, 22syl5eq 2866 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2419, 23eqtrd 2854 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25 df-neg 10865 . . . . . 6 -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
2624, 25syl6eq 2870 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27 sqneg 13474 . . . . . . 7 ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
297sqsqrtd 14791 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3028, 29eqtrd 2854 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3117, 26, 303netr4d 3091 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32 oveq1 7155 . . . . 5 ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
3332necon3i 3046 . . . 4 (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
353, 10, 34subne0d 10998 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
369, 35eqnetrrd 3082 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530  ici 10531   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  -cneg 10863  2c2 11684  cexp 13421  csqrt 14584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  asinlem3  25441  asinf  25442  asinneg  25456  efiasin  25458  asinbnd  25469  dvasin  34965
  Copyright terms: Public domain W3C validator