MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 26820
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26817 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11205 . . . 4 i โˆˆ โ„‚
2 mulcl 11230 . . . 4 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 688 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 ax-1cn 11204 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14122 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
6 subcl 11497 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
74, 5, 6sylancr 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
87sqrtcld 15424 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
93, 8subnegd 11616 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) = ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
108negcld 11596 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
11 0ne1 12321 . . . . . 6 0 โ‰  1
12 0cnd 11245 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
14 subcan2 11523 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 = 1))
1514necon3bid 2982 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ†” 0 โ‰  1))
1711, 16mpbiri 257 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โ‰  (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
18 sqmul 14123 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
191, 18mpan 688 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
20 i2 14205 . . . . . . . . 9 (iโ†‘2) = -1
2120oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ดโ†‘2))
225mulm1d 11704 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2321, 22eqtrid 2780 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((iโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) = -(๐ดโ†‘2))
2419, 23eqtrd 2768 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = -(๐ดโ†‘2))
25 df-neg 11485 . . . . . 6 -(๐ดโ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2))
2624, 25eqtrdi 2784 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (0 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
27 sqneg 14120 . . . . . . 7 ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
297sqsqrtd 15426 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3028, 29eqtrd 2768 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))
3117, 26, 303netr4d 3015 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
32 oveq1 7433 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) = -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โ†’ ((i ยท ๐ด)โ†‘2) = (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2))
3332necon3i 2970 . . . 4 (((i ยท ๐ด)โ†‘2) โ‰  (-(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))โ†‘2) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))
353, 10, 34subne0d 11618 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ’ -(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
369, 35eqnetrrd 3006 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โ‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  2c2 12305  โ†‘cexp 14066  โˆšcsqrt 15220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223
This theorem is referenced by:  asinlem3  26823  asinf  26824  asinneg  26838  efiasin  26840  asinbnd  26851  dvasin  37210
  Copyright terms: Public domain W3C validator