MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem 26794
Description: The argument to the logarithm in df-asin 26791 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11192 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 11217 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 ax-1cn 11191 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 sqcl 14109 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 11484 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 15411 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
93, 8subnegd 11603 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
108negcld 11583 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11 0ne1 12308 . . . . . 6 0 ≠ 1
12 0cnd 11232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13 1cnd 11234 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14 subcan2 11510 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
1514necon3bid 2981 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1612, 13, 5, 15syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
1711, 16mpbiri 258 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18 sqmul 14110 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
191, 18mpan 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20 i2 14192 . . . . . . . . 9 (i↑2) = -1
2120oveq1i 7425 . . . . . . . 8 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
225mulm1d 11691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2321, 22eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
2419, 23eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25 df-neg 11472 . . . . . 6 -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
2624, 25eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27 sqneg 14107 . . . . . . 7 ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
288, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
297sqsqrtd 15413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3028, 29eqtrd 2768 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
3117, 26, 303netr4d 3014 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32 oveq1 7422 . . . . 5 ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
3332necon3i 2969 . . . 4 (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
3431, 33syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
353, 10, 34subne0d 11605 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
369, 35eqnetrrd 3005 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  cfv 6543  (class class class)co 7415  cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134  ici 11135   + caddc 11136   · cmul 11138  cmin 11469  -cneg 11470  2c2 12292  cexp 14053  csqrt 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  asinlem3  26797  asinf  26798  asinneg  26812  efiasin  26814  asinbnd  26825  dvasin  37172
  Copyright terms: Public domain W3C validator