Theorem asinlem 26794

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26791 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11192	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11217	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11191	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11484	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	subnegd 11603	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
10	8	negcld 11583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11		0ne1 12308	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
12		0cnd 11232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13		1cnd 11234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14		subcan2 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
15	14	necon3bid 2981	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
16	12, 13, 5, 15	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
17	11, 16	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18		sqmul 14110	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
19	1, 18	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20		i2 14192	. . . . . . . . 9 ⊢ (i↑2) = -1
21	20	oveq1i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
22	5	mulm1d 11691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
23	21, 22	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
24	19, 23	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25		df-neg 11472	. . . . . 6 ⊢ -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
26	24, 25	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27		sqneg 14107	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
28	8, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
29	7	sqsqrtd 15413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
30	28, 29	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
31	17, 26, 30	3netr4d 3014	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32		oveq1 7422	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
33	32	necon3i 2969	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
34	31, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
35	3, 10, 34	subne0d 11605	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
36	9, 35	eqnetrrd 3005	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  0cc0 11133  1c1 11134  ici 11135   + caddc 11136   · cmul 11138   − cmin 11469  -cneg 11470  2c2 12292  ↑cexp 14053  √csqrt 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210

This theorem is referenced by:  asinlem3  26797  asinf  26798  asinneg  26812  efiasin  26814  asinbnd  26825  dvasin  37172