Theorem asinlem 26846

Description: The argument to the logarithm in df-asin 26843 is always nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Proof of Theorem asinlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11097	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 11122	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11391	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9	3, 8	subnegd 11511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
10	8	negcld 11491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
11		0ne1 12228	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
12		0cnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
13		1cnd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
14		subcan2 11418	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 = 1))
15	14	necon3bid 2977	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
16	12, 13, 5, 15	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)) ↔ 0 ≠ 1))
17	11, 16	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 − (𝐴↑2)) ≠ (1 − (𝐴↑2)))
18		sqmul 14054	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
19	1, 18	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
20		i2 14137	. . . . . . . . 9 ⊢ (i↑2) = -1
21	20	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
22	5	mulm1d 11601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
23	21, 22	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
24	19, 23	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
25		df-neg 11379	. . . . . 6 ⊢ -(𝐴↑2) = (0 − (𝐴↑2))
26	24, 25	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = (0 − (𝐴↑2)))
27		sqneg 14050	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
28	8, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
29	7	sqsqrtd 15377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
30	28, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) = (1 − (𝐴↑2)))
31	17, 26, 30	3netr4d 3010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
32		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) = -(√‘(1 − (𝐴↑2))) → ((i · 𝐴)↑2) = (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2))
33	32	necon3i 2965	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴)↑2) ≠ (-(√‘(1 − (𝐴↑2)))↑2) → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
34	31, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ≠ -(√‘(1 − (𝐴↑2))))
35	3, 10, 34	subne0d 11513	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) − -(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)
36	9, 35	eqnetrrd 3001	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377  2c2 12212  ↑cexp 13996  √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  asinlem3  26849  asinf  26850  asinneg  26864  efiasin  26866  asinbnd  26877  dvasin  37955