Theorem binomfallfaclem1 16058

Description: Lemma for binomfallfac 16060. Closure law. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
binomfallfaclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

Proof of Theorem binomfallfaclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13547	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		bccl 14344	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12573	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 13579	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16035	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 13643	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		peano2nn0 12550	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
14		fallfaccl 16035	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
15	10, 13, 14	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
16	9, 15	mulcld 11264	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1))) ∈ ℂ)
17	5, 16	mulcld 11264	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11475  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ...cfz 13530  Ccbc 14324   FallFac cfallfac 16023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-prod 15923  df-fallfac 16026

This theorem is referenced by:  binomfallfaclem2  16059