Theorem binomfallfaclem1 16089

Description: Lemma for binomfallfac 16091. Closure law. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
binomfallfaclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

Proof of Theorem binomfallfaclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13548	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		bccl 14354	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12563	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 13580	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 13644	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		peano2nn0 12540	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
14		fallfaccl 16066	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
15	10, 13, 14	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
16	9, 15	mulcld 11225	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1))) ∈ ℂ)
17	5, 16	mulcld 11225	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ...cfz 13531  Ccbc 14334   FallFac cfallfac 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-fallfac 16057

This theorem is referenced by:  binomfallfaclem2  16090