Theorem binomfallfaclem1 16211

Description: Lemma for binomfallfac 16213. Closure law. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomfallfaclem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
binomfallfaclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

Proof of Theorem binomfallfaclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomfallfaclem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13660	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		bccl 14470	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12673	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
6		binomfallfaclem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fznn0sub 13694	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8		fallfaccl 16189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
10		binomfallfaclem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfznn0 13758	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
12		peano2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
14		fallfaccl 16189	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
15	10, 13, 14	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
16	9, 15	mulcld 11333	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1))) ∈ ℂ)
17	5, 16	mulcld 11333	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝐾) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − 𝐾)) · (𝐵 FallFac (𝐾 + 1)))) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ...cfz 13643  Ccbc 14450   FallFac cfallfac 16177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-prod 16079  df-fallfac 16180

This theorem is used by:  binomfallfaclem2  16212