MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0risefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0risefac 15982
Description: The value of the zero rising factorial at natural ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0risefac (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 RiseFac ๐‘) = 0)

Proof of Theorem 0risefac
StepHypRef Expression
1 0cn 11206 . . 3 0 โˆˆ โ„‚
2 nnnn0 12479 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 risefallfac 15968 . . 3 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-0 FallFac ๐‘)))
41, 2, 3sylancr 588 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-0 FallFac ๐‘)))
5 neg0 11506 . . . . 5 -0 = 0
65oveq1i 7419 . . . 4 (-0 FallFac ๐‘) = (0 FallFac ๐‘)
7 0fallfac 15981 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 FallFac ๐‘) = 0)
86, 7eqtrid 2785 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-0 FallFac ๐‘) = 0)
98oveq2d 7425 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-0 FallFac ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท 0))
10 neg1cn 12326 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
11 expcl 14045 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1210, 2, 11sylancr 588 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11413 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท 0) = 0)
144, 9, 133eqtrd 2777 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 RiseFac ๐‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  -cneg 11445  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027   FallFac cfallfac 15948   RiseFac crisefac 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-risefac 15950  df-fallfac 15951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator