Theorem 0risefac 16118

Description: The value of the zero rising factorial at natural 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0risefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0risefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11217	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		nnnn0 12530	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		risefallfac 16105	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)))
5		neg0 11523	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
6	5	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ (-0 FallFac 𝑁) = (0 FallFac 𝑁)
7		0fallfac 16117	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)
8	6, 7	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-0 FallFac 𝑁) = 0)
9	8	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · 0))
10		neg1cn 12222	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		expcl 14137	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11428	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑁) · 0) = 0)
14	4, 9, 13	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  0cc0 11119  1c1 11120   · cmul 11124  -cneg 11461  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14119   FallFac cfallfac 16085   RiseFac crisefac 16086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-prod 15985  df-risefac 16087  df-fallfac 16088

This theorem is used by: (None)