Theorem 0risefac 16069

Description: The value of the zero rising factorial at natural 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0risefac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = 0)

Proof of Theorem 0risefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11172	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		nnnn0 12489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		risefallfac 16055	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)))
4	1, 2, 3	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)))
5		neg0 11478	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
6	5	oveq1i 7407	. . . 4 ⊢ (-0 FallFac 𝑁) = (0 FallFac 𝑁)
7		0fallfac 16068	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 FallFac 𝑁) = 0)
8	6, 7	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-0 FallFac 𝑁) = 0)
9	8	oveq2d 7413	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑁) · (-0 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · 0))
10		neg1cn 12181	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		expcl 14093	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11383	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑁) · 0) = 0)
14	4, 9, 13	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 RiseFac 𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079  -cneg 11416  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12482  ↑cexp 14075   FallFac cfallfac 16035   RiseFac crisefac 16036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-clim 15516  df-prod 15935  df-risefac 16037  df-fallfac 16038

This theorem is referenced by: (None)