Theorem bpolydif 16020

Description: Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolydif	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem bpolydif

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)))
2		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑘 BernPoly 𝑋))
3	1, 2	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
5		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
6	5	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
7	4, 6	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
8	3, 7	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))))
10		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)))
11		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
12	10, 11	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
14		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
15	14	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑁 − 1)))
16	13, 15	oveq12d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
17	12, 16	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))))
19		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
21		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
22		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)))
23		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑚 BernPoly 𝑋))
24	22, 23	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)))
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
26		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 − 1) = (𝑚 − 1))
27	26	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑋↑(𝑘 − 1)) = (𝑋↑(𝑚 − 1)))
28	25, 27	oveq12d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
29	24, 28	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) ↔ ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
30	29	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))))
31	30	rspccva 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
32	31	3ad2antl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
33	21, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
34	19, 20, 33	bpolydiflem 16019	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
35	34	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))))
36	9, 18, 35	nnsinds 13950	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
37	36	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  ...cfz 13461  ↑cexp 14023   BernPoly cbp 16011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-bpoly 16012

This theorem is referenced by:  fsumkthpow  16021