Theorem bpolydif 16097

Description: Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolydif	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem bpolydif

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)))
2		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑘 BernPoly 𝑋))
3	1, 2	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)))
4		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
5		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
6	5	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
7	4, 6	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
8	3, 7	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))))
10		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)))
11		oveq1 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
12	10, 11	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)))
13		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
14		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
15	14	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑁 − 1)))
16	13, 15	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
17	12, 16	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))))
19		simp1 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
21		simpl3 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
22		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)))
23		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑚 BernPoly 𝑋))
24	22, 23	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)))
25		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
26		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 − 1) = (𝑚 − 1))
27	26	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑋↑(𝑘 − 1)) = (𝑋↑(𝑚 − 1)))
28	25, 27	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
29	24, 28	eqeq12d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) ↔ ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
30	29	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))))
31	30	rspccva 3583	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
32	31	3ad2antl2 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
33	21, 32	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
34	19, 20, 33	bpolydiflem 16096	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
35	34	3exp 1135	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))))
36	9, 18, 35	nnsinds 14012	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
37	36	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  ℕcn 12221  ...cfz 13523  ↑cexp 14085   BernPoly cbp 16088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-bpoly 16089

This theorem is referenced by:  fsumkthpow  16098