Theorem bpolydif 15964

Description: Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bpolydif	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem bpolydif

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)))
2		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑘 BernPoly 𝑋))
3	1, 2	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
5		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 − 1) = (𝑘 − 1))
6	5	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑘 − 1)))
7	4, 6	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))
8	3, 7	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))))))
10		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)))
11		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 BernPoly 𝑋) = (𝑁 BernPoly 𝑋))
12	10, 11	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → 𝑛 = 𝑁)
14		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
15	14	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑(𝑁 − 1)))
16	13, 15	oveq12d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))
17	12, 16	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ↔ ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))))
19		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
21		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
22		oveq1 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) = (𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)))
23		oveq1 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (𝑚 BernPoly 𝑋))
24	22, 23	oveq12d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)))
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
26		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 − 1) = (𝑚 − 1))
27	26	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑋↑(𝑘 − 1)) = (𝑋↑(𝑚 − 1)))
28	25, 27	oveq12d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
29	24, 28	eqeq12d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1))) ↔ ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
30	29	imbi2d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ↔ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))))
31	30	rspccva 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
32	31	3ad2antl2 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1)))))
33	21, 32	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑚 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑚 BernPoly 𝑋)) = (𝑚 · (𝑋↑(𝑚 − 1))))
34	19, 20, 33	bpolydiflem 15963	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
35	34	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑋 ∈ ℂ → ((𝑘 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑘 BernPoly 𝑋)) = (𝑘 · (𝑋↑(𝑘 − 1)))) → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑛 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑛 BernPoly 𝑋)) = (𝑛 · (𝑋↑(𝑛 − 1))))))
36	9, 18, 35	nnsinds 13897	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1)))))
37	36	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑁 BernPoly (𝑋 + 1)) − (𝑁 BernPoly 𝑋)) = (𝑁 · (𝑋↑(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351  ℕcn 12132  ...cfz 13409  ↑cexp 13970   BernPoly cbp 15955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-bpoly 15956

This theorem is referenced by:  fsumkthpow  15965