MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolydif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolydif 16041
Description: Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolydif ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))

Proof of Theorem bpolydif
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)))
2 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹))
31, 2oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)))
4 id 22 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
5 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
65oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
74, 6oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
83, 7eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
98imbi2d 339 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))))
10 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)))
11 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
1210, 11oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
13 id 22 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
14 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1514oveq2d 7442 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
1613, 15oveq12d 7444 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1712, 16eqeq12d 2744 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
1817imbi2d 339 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))))
19 simp1 1133 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
20 simp3 1135 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
22 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)))
23 oveq1 7433 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘š BernPoly ๐‘‹))
2422, 23oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)))
25 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐‘˜ = ๐‘š)
26 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐‘š โˆ’ 1))
2726oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))
2825, 27oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))
2924, 28eqeq12d 2744 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
3029imbi2d 339 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))))
3130rspccva 3610 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
32313ad2antl2 1183 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
3321, 32mpd 15 . . . . 5 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))
3419, 20, 33bpolydiflem 16040 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))))
35343exp 1116 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))))))
369, 18, 35nnsinds 13995 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
3736imp 405 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  โ„•cn 12252  ...cfz 13526  โ†‘cexp 14068   BernPoly cbp 16032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-bpoly 16033
This theorem is referenced by:  fsumkthpow  16042
  Copyright terms: Public domain W3C validator