MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolydif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolydif 16005
Description: Calculate the difference between successive values of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolydif ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))

Proof of Theorem bpolydif
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)))
2 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹))
31, 2oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)))
4 id 22 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
5 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
65oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
74, 6oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
83, 7eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
98imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))))
10 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)))
11 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
1210, 11oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)))
13 id 22 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ๐‘› = ๐‘)
14 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
1514oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
1613, 15oveq12d 7423 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
1712, 16eqeq12d 2742 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
1817imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))))
19 simp1 1133 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
20 simp3 1135 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
22 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) = (๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)))
23 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘š BernPoly ๐‘‹))
2422, 23oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)))
25 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐‘˜ = ๐‘š)
26 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (๐‘š โˆ’ 1))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))
2825, 27oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))
2924, 28eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) โ†” ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
3029imbi2d 340 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))))
3130rspccva 3605 . . . . . . 7 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
32313ad2antl2 1183 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1)))))
3321, 32mpd 15 . . . . 5 (((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘š โˆ’ 1))))
3419, 20, 33bpolydiflem 16004 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))))
35343exp 1116 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘˜ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘› BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘› ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘› โˆ’ 1))))))
369, 18, 35nnsinds 13959 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
3736imp 406 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ BernPoly (๐‘‹ + 1)) โˆ’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032   BernPoly cbp 15996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-bpoly 15997
This theorem is referenced by:  fsumkthpow  16006
  Copyright terms: Public domain W3C validator