Theorem clmsub4 25083

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmsub4	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	2, 3	clmneg1 25059	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		clmpm1dir.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		clmpm1dir.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		clmpm1dir.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13	10, 2, 11, 3, 12	clmvsdi 25069	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
14	1, 5, 7, 9, 13	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15	14	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
16	15	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17		clmabl 25046	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18		ablcmn 19753	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20	19	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
25	10, 2, 11, 3	clmvscl 25065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
28	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
30	10, 2, 11, 3	clmvscl 25065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
32	26, 31	anim12dan 620	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33	32	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
34	10, 12	cmn4 19767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
35	20, 21, 33, 34	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
36	16, 35	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  -cneg 11369  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  CMndccmn 19746  Abelcabl 19747  ℂModcclm 25039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-cnfld 21345  df-clm 25040

This theorem is referenced by: (None)