Theorem clmsub4 25222

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmsub4	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	2, 3	clmneg1 25198	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	8	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		clmpm1dir.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		clmpm1dir.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		clmpm1dir.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13	10, 2, 11, 3, 12	clmvsdi 25208	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
14	1, 5, 7, 9, 13	syl13anc 1395	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15	14	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
16	15	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17		clmabl 25185	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18		ablcmn 19845	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20	19	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
22		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
25	10, 2, 11, 3	clmvscl 25204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
28	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
30	10, 2, 11, 3	clmvscl 25204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
32	26, 31	anim12dan 630	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33	32	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
34	10, 12	cmn4 19859	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
35	20, 21, 33, 34	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
36	16, 35	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089  -cneg 11430  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  CMndccmn 19838  Abelcabl 19839  ℂModcclm 25178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-seq 14026  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-cnfld 21480  df-clm 25179

This theorem is referenced by: (None)