MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmsub4 24604
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmsub4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42, 3clmneg1 24580 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54adantr 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐶𝑉)
76adantl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐶𝑉)
8 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
98adantl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐷𝑉)
10 clmpm1dir.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 clmpm1dir.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
12 clmpm1dir.a . . . . . 6 + = (+g𝑊)
1310, 2, 11, 3, 12clmvsdi 24590 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
141, 5, 7, 9, 13syl13anc 1373 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15143adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1615oveq2d 7420 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17 clmabl 24567 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18 ablcmn 19648 . . . . 5 (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20193ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21 simp2 1138 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
22 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
234adantr 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
2510, 2, 11, 3clmvscl 24586 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
284adantr 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
3010, 2, 11, 3clmvscl 24586 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3226, 31anim12dan 620 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33323adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
3410, 12cmn4 19662 . . 3 ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3520, 21, 33, 34syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3616, 35eqtrd 2773 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6540  (class class class)co 7404  1c1 11107  -cneg 11441  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  CMndccmn 19641  Abelcabl 19642  ℂModcclm 24560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-cnfld 20930  df-clm 24561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator