MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmsub4 23700
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s · = ( ·𝑠𝑊)
clmpm1dir.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
clmsub4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2 eqid 2824 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42, 3clmneg1 23676 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
54adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐶𝑉)
76adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐶𝑉)
8 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐶𝑉𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
98adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝐷𝑉)
10 clmpm1dir.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 clmpm1dir.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
12 clmpm1dir.a . . . . . 6 + = (+g𝑊)
1310, 2, 11, 3, 12clmvsdi 23686 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
141, 5, 7, 9, 13syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15143adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1615oveq2d 7154 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17 clmabl 23663 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18 ablcmn 18902 . . . . 5 (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20193ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
22 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
234adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
2510, 2, 11, 3clmvscl 23682 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
284adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → 𝐷𝑉)
3010, 2, 11, 3clmvscl 23682 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
3226, 31anim12dan 621 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33323adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
3410, 12cmn4 18915 . . 3 ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3520, 21, 33, 34syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
3616, 35eqtrd 2859 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6336  (class class class)co 7138  1c1 10523  -cneg 10856  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  CMndccmn 18895  Abelcabl 18896  ℂModcclm 23656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-seq 13363  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-mulg 18214  df-subg 18265  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-cnfld 20532  df-clm 23657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator