MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmsub4 24846
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clmpm1dir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
clmpm1dir.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
clmpm1dir.a + = (+gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clmsub4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (-1 Β· (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 Β· 𝐢)) + (𝐡 + (-1 Β· 𝐷))))
Proof of Theorem clmsub4
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
2 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
42, 3clmneg1 24822 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
54adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
76adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
98adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10 clmpm1dir.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 clmpm1dir.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 clmpm1dir.a . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
1310, 2, 11, 3, 12clmvsdi 24832 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (-1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (-1 Β· (𝐢 + 𝐷)) = ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷)))
141, 5, 7, 9, 13syl13anc 1372 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (-1 Β· (𝐢 + 𝐷)) = ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷)))
15143adant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (-1 Β· (𝐢 + 𝐷)) = ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷)))
1615oveq2d 7427 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (-1 Β· (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐡) + ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷))))
17 clmabl 24809 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ Abel)
18 ablcmn 19696 . . . . 5 (π‘Š ∈ Abel β†’ π‘Š ∈ CMnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ π‘Š ∈ CMnd)
20193ad2ant1 1133 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ CMnd)
21 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
22 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
234adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
24 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
2510, 2, 11, 3clmvscl 24828 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐢) ∈ 𝑉)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐢) ∈ 𝑉)
27 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
284adantr 481 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
29 simpr 485 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3010, 2, 11, 3clmvscl 24828 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ -1 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)
3127, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (-1 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)
3226, 31anim12dan 619 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((-1 Β· 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ (-1 Β· 𝐷) ∈ 𝑉))
33323adant2 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((-1 Β· 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ (-1 Β· 𝐷) ∈ 𝑉))
3410, 12cmn4 19710 . . 3 ((π‘Š ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ ((-1 Β· 𝐢) ∈ 𝑉 ∧ (-1 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 Β· 𝐢)) + (𝐡 + (-1 Β· 𝐷))))
3520, 21, 33, 34syl3anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + ((-1 Β· 𝐢) + (-1 Β· 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 Β· 𝐢)) + (𝐡 + (-1 Β· 𝐷))))
3616, 35eqtrd 2772 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) + (-1 Β· (𝐢 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 Β· 𝐢)) + (𝐡 + (-1 Β· 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113  -cneg 11449  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  CMndccmn 19689  Abelcabl 19690  β„‚Modcclm 24802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-cnfld 21145  df-clm 24803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator