Theorem clmsub4 25062

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 5-Aug-2007.) (Revised by AV, 29-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clmpm1dir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
clmpm1dir.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
clmpm1dir.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clmsub4	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Proof of Theorem clmsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
2		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	2, 3	clmneg1 25038	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
10		clmpm1dir.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		clmpm1dir.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		clmpm1dir.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13	10, 2, 11, 3, 12	clmvsdi 25048	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (-1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
14	1, 5, 7, 9, 13	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
16	15	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
17		clmabl 25025	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ Abel)
18		ablcmn 19716	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Abel → 𝑊 ∈ CMnd)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ CMnd)
20	19	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ CMnd)
21		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
25	10, 2, 11, 3	clmvscl 25044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐶) ∈ 𝑉)
27		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
28	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑉)
30	10, 2, 11, 3	clmvscl 25044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)
32	26, 31	anim12dan 619	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
33	32	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉))
34	10, 12	cmn4 19730	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CMnd ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((-1 · 𝐶) ∈ 𝑉 ∧ (-1 · 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
35	20, 21, 33, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
36	16, 35	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027  -cneg 11365  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  CMndccmn 19709  Abelcabl 19710  ℂModcclm 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-cnfld 21310  df-clm 25019

This theorem is referenced by: (None)