Theorem cnelsubc 49715

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a category satisfying all conditions for a subcategory but the compatibility of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17719 is necessary. A stronger statement than nelsubc3 49182. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnelsubc	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Distinct variable group:   𝑗,𝑐,𝑠,𝑥

Proof of Theorem cnelsubc

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. 2 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) ∈ V
2		1oex 8395	. 2 ⊢ 1o ∈ V
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) = (Homf ‘(SetCat‘1o))
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ 1o = 1o
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
9		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) = ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o)))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	setc1onsubc 49713	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ∈ Cat ∧ (Homf ‘(SetCat‘1o)) Fn (1o × 1o) ∧ ((Homf ‘(SetCat‘1o)) ⊆cat (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})‘𝑥) ∈ (𝑥(Homf ‘(SetCat‘1o))𝑥) ∧ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) ∈ Cat))
12	1, 2, 11	cnelsubclem 49714	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  {csn 4573  {ctp 4577  ⟨cop 4579  ⟨cotp 4581   class class class wbr 5089   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  Hom chom 17172  compcco 17173  Catccat 17570  Idccid 17571  Hom_f chomf 17572   ⊆_cat cssc 17714   ↾_cat cresc 17715  SetCatcsetc 17982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-comf 17577  df-ssc 17717  df-resc 17718  df-setc 17983  df-thinc 49529  df-termc 49584

This theorem is referenced by: (None)