Theorem cnelsubc 49342

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a category satisfying all conditions for a subcategory but the compatibility of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17812 is necessary. A stronger statement than nelsubc3 48932. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnelsubc	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Distinct variable group:   𝑗,𝑐,𝑠,𝑥

Proof of Theorem cnelsubc

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6886	. 2 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) ∈ V
2		1oex 8485	. 2 ⊢ 1o ∈ V
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) = (Homf ‘(SetCat‘1o))
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ 1o = 1o
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) = ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o)))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	setc1onsubc 49340	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ∈ Cat ∧ (Homf ‘(SetCat‘1o)) Fn (1o × 1o) ∧ ((Homf ‘(SetCat‘1o)) ⊆cat (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})‘𝑥) ∈ (𝑥(Homf ‘(SetCat‘1o))𝑥) ∧ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) ∈ Cat))
12	1, 2, 11	cnelsubclem 49341	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∩ cin 3923  ∅c0 4306  {csn 4599  {ctp 4603  ⟨cop 4605  ⟨cotp 4607   class class class wbr 5117   × cxp 5650   Fn wfn 6523  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  1_oc1o 8468  2_oc2o 8469  ndxcnx 17199  Basecbs 17215  Hom chom 17269  compcco 17270  Catccat 17663  Idccid 17664  Hom_f chomf 17665   ⊆_cat cssc 17807   ↾_cat cresc 17808  SetCatcsetc 18075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-reg 9599  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-map 8837  df-ixp 8907  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17667  df-cid 17668  df-homf 17669  df-comf 17670  df-ssc 17810  df-resc 17811  df-setc 18076  df-thinc 49167  df-termc 49220

This theorem is referenced by: (None)