Theorem cnelsubc 50533

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a category satisfying all conditions for a subcategory but the compatibility of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17904 is necessary. A stronger statement than nelsubc3 50000. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnelsubc	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Distinct variable group:   𝑗,𝑐,𝑠,𝑥

Proof of Theorem cnelsubc

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6892	. 2 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) ∈ V
2		1oex 8468	. 2 ⊢ 1o ∈ V
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) = (Homf ‘(SetCat‘1o))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ 1o = 1o
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) = ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o)))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	setc1onsubc 50531	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ∈ Cat ∧ (Homf ‘(SetCat‘1o)) Fn (1o × 1o) ∧ ((Homf ‘(SetCat‘1o)) ⊆cat (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})‘𝑥) ∈ (𝑥(Homf ‘(SetCat‘1o))𝑥) ∧ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) ∈ Cat))
12	1, 2, 11	cnelsubclem 50532	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   class class class wbr 5103   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  Hom chom 17356  compcco 17357  Catccat 17755  Idccid 17756  Hom_f chomf 17757   ⊆_cat cssc 17899   ↾_cat cresc 17900  SetCatcsetc 18167

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-hom 17369  df-cco 17370  df-cat 17759  df-cid 17760  df-homf 17761  df-comf 17762  df-ssc 17902  df-resc 17903  df-setc 18168  df-thinc 50347  df-termc 50402

This theorem is used by: (None)