Theorem cnelsubc 50711

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a category satisfying all conditions for a subcategory but the compatibility of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17987 is necessary. A stronger statement than nelsubc3 50178. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnelsubc	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Distinct variable group:   𝑗,𝑐,𝑠,𝑥

Proof of Theorem cnelsubc

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. 2 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) ∈ V
2		1oex 8486	. 2 ⊢ 1o ∈ V
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) = (Homf ‘(SetCat‘1o))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ 1o = 1o
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) = ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o)))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	setc1onsubc 50709	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ∈ Cat ∧ (Homf ‘(SetCat‘1o)) Fn (1o × 1o) ∧ ((Homf ‘(SetCat‘1o)) ⊆cat (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})‘𝑥) ∈ (𝑥(Homf ‘(SetCat‘1o))𝑥) ∧ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) ∈ Cat))
12	1, 2, 11	cnelsubclem 50710	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   class class class wbr 5103   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  Hom chom 17439  compcco 17440  Catccat 17838  Idccid 17839  Hom_f chomf 17840   ⊆_cat cssc 17982   ↾_cat cresc 17983  SetCatcsetc 18250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-homf 17844  df-comf 17845  df-ssc 17985  df-resc 17986  df-setc 18251  df-thinc 50525  df-termc 50580

This theorem is used by: (None)