Theorem cnelsubc 49791

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a category satisfying all conditions for a subcategory but the compatibility of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17734 is necessary. A stronger statement than nelsubc3 49258. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnelsubc	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Distinct variable group:   𝑗,𝑐,𝑠,𝑥

Proof of Theorem cnelsubc

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6845	. 2 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) ∈ V
2		1oex 8405	. 2 ⊢ 1o ∈ V
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (SetCat‘1o) = (SetCat‘1o)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘1o)) = (Homf ‘(SetCat‘1o))
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ 1o = 1o
8		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) = (Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) = ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o)))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	setc1onsubc 49789	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ∈ Cat ∧ (Homf ‘(SetCat‘1o)) Fn (1o × 1o) ∧ ((Homf ‘(SetCat‘1o)) ⊆cat (Homf ‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩}) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘{⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩})‘𝑥) ∈ (𝑥(Homf ‘(SetCat‘1o))𝑥) ∧ ({⟨(Base‘ndx), {∅}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨∅, ∅, 2o⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨∅, ∅⟩, ∅, (𝑓 ∈ 2o, 𝑔 ∈ 2o ↦ (𝑓 ∩ 𝑔))⟩}⟩} ↾cat (Homf ‘(SetCat‘1o))) ∈ Cat))
12	1, 2, 11	cnelsubclem 49790	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ (𝑐 ↾cat 𝑗) ∈ Cat))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  {ctp 4582  ⟨cop 4584  ⟨cotp 4586   class class class wbr 5096   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  Hom chom 17186  compcco 17187  Catccat 17585  Idccid 17586  Hom_f chomf 17587   ⊆_cat cssc 17729   ↾_cat cresc 17730  SetCatcsetc 17997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-hom 17199  df-cco 17200  df-cat 17589  df-cid 17590  df-homf 17591  df-comf 17592  df-ssc 17732  df-resc 17733  df-setc 17998  df-thinc 49605  df-termc 49660

This theorem is referenced by: (None)