Theorem nelsubc3 49561

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a set satisfying all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17773 is necessary.

Note that this theorem cheated a little bit because (𝐶 ↾_cat 𝐽) is not a category. In fact (𝐶 ↾_cat 𝐽) ∈ Cat is a stronger statement than the condition (d) of Definition 4.1(1) of [Adamek] p. 48, as stated here (see the proof of issubc3 17810). To construct such a category, see setc1onsubc 50092 and cnelsubc 50094. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc3	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦   𝑔,𝑐,𝑗,𝑠   𝑧,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nelsubc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8410	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o)
3	2	setccat 18046	. . 3 ⊢ (2o ∈ V → (SetCat‘2o) ∈ Cat)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ Cat
5		1oex 8409	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5, 5	xpex 7701	. . 3 ⊢ (1o × 1o) ∈ V
7		p0ex 5322	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
8	6, 7	xpex 7701	. 2 ⊢ ((1o × 1o) × {∅}) ∈ V
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
10	2, 9	setcbas 18039	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘(SetCat‘2o)))
11	10	mptru 1549	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘(SetCat‘2o))
12		2on0 8413	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
13		2on 8412	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ On
14	13	onordi 6431	. . . . . . 7 ⊢ Ord 2o
15		ordge1n0 8423	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 2o → (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 2o
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ⊆ 2o)
19		1n0 8417	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ≠ ∅)
21		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((1o × 1o) × {∅}) = ((1o × 1o) × {∅}))
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘2o)) = (Homf ‘(SetCat‘2o))
23	11, 18, 20, 21, 22	nelsubclem 49557	. . 3 ⊢ (⊤ → (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧)))))
24	23	mptru 1549	. 2 ⊢ (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧))))
25	4, 8, 5, 24	nelsubc3lem 49560	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5623  Ord word 6317   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393  Basecbs 17173  compcco 17226  Catccat 17624  Idccid 17625  Hom_f chomf 17626   ⊆_cat cssc 17768  SetCatcsetc 18036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-hom 17238  df-cco 17239  df-cat 17628  df-cid 17629  df-homf 17630  df-ssc 17771  df-setc 18037

This theorem is referenced by: (None)