Theorem nelsubc3 50327

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a set satisfying all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 18002 is necessary.

Note that this theorem cheated a little bit because (𝐶 ↾_cat 𝐽) is not a category. In fact (𝐶 ↾_cat 𝐽) ∈ Cat is a stronger statement than the condition (d) of Definition 4.1(1) of [Adamek] p. 48, as stated here (see the proof of issubc3 18039). To construct such a category, see setc1onsubc 50882 and cnelsubc 50884. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc3	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦   𝑔,𝑐,𝑗,𝑠   𝑧,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nelsubc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8502	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o)
3	2	setccat 18275	. . 3 ⊢ (2o ∈ V → (SetCat‘2o) ∈ Cat)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ Cat
5		1oex 8500	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5, 5	xpex 7777	. . 3 ⊢ (1o × 1o) ∈ V
7		p0ex 5350	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
8	6, 7	xpex 7777	. 2 ⊢ ((1o × 1o) × {∅}) ∈ V
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
10	2, 9	setcbas 18268	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘(SetCat‘2o)))
11	10	mptru 1576	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘(SetCat‘2o))
12		2on0 8505	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
13		2on 8504	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ On
14	13	onordi 6483	. . . . . . 7 ⊢ Ord 2o
15		ordge1n0 8516	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 2o → (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
17	12, 16	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 2o
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ⊆ 2o)
19		1n0 8509	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ≠ ∅)
21		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((1o × 1o) × {∅}) = ((1o × 1o) × {∅}))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘2o)) = (Homf ‘(SetCat‘2o))
23	11, 18, 20, 21, 22	nelsubclem 50323	. . 3 ⊢ (⊤ → (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧)))))
24	23	mptru 1576	. 2 ⊢ (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧))))
25	4, 8, 5, 24	nelsubc3lem 50326	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653  Ord word 6368   Fn wfn 6542  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1_oc1o 8483  2_oc2o 8484  Basecbs 17402  compcco 17455  Catccat 17853  Idccid 17854  Hom_f chomf 17855   ⊆_cat cssc 17997  SetCatcsetc 18265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-hom 17467  df-cco 17468  df-cat 17857  df-cid 17858  df-homf 17859  df-ssc 18000  df-setc 18266

This theorem is used by: (None)