Theorem nelsubc3 49182

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a set satisfying all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17719 is necessary.

Note that this theorem cheated a little bit because (𝐶 ↾_cat 𝐽) is not a category. In fact (𝐶 ↾_cat 𝐽) ∈ Cat is a stronger statement than the condition (d) of Definition 4.1(1) of [Adamek] p. 48, as stated here (see the proof of issubc3 17756). To construct such a category, see setc1onsubc 49713 and cnelsubc 49715. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc3	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦   𝑔,𝑐,𝑗,𝑠   𝑧,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nelsubc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8396	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o)
3	2	setccat 17992	. . 3 ⊢ (2o ∈ V → (SetCat‘2o) ∈ Cat)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ Cat
5		1oex 8395	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5, 5	xpex 7686	. . 3 ⊢ (1o × 1o) ∈ V
7		p0ex 5320	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
8	6, 7	xpex 7686	. 2 ⊢ ((1o × 1o) × {∅}) ∈ V
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
10	2, 9	setcbas 17985	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘(SetCat‘2o)))
11	10	mptru 1548	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘(SetCat‘2o))
12		2on0 8399	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
13		2on 8398	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ On
14	13	onordi 6419	. . . . . . 7 ⊢ Ord 2o
15		ordge1n0 8409	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 2o → (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 2o
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ⊆ 2o)
19		1n0 8403	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ≠ ∅)
21		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((1o × 1o) × {∅}) = ((1o × 1o) × {∅}))
22		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘2o)) = (Homf ‘(SetCat‘2o))
23	11, 18, 20, 21, 22	nelsubclem 49178	. . 3 ⊢ (⊤ → (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧)))))
24	23	mptru 1548	. 2 ⊢ (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧))))
25	4, 8, 5, 24	nelsubc3lem 49181	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   × cxp 5612  Ord word 6305   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  Basecbs 17120  compcco 17173  Catccat 17570  Idccid 17571  Hom_f chomf 17572   ⊆_cat cssc 17714  SetCatcsetc 17982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-ssc 17717  df-setc 17983

This theorem is referenced by: (None)