Theorem nelsubc3 49693

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a set satisfying all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17846 is necessary.

Note that this theorem cheated a little bit because (𝐶 ↾_cat 𝐽) is not a category. In fact (𝐶 ↾_cat 𝐽) ∈ Cat is a stronger statement than the condition (d) of Definition 4.1(1) of [Adamek] p. 48, as stated here (see the proof of issubc3 17883). To construct such a category, see setc1onsubc 50224 and cnelsubc 50226. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc3	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦   𝑔,𝑐,𝑗,𝑠   𝑧,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nelsubc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8450	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o)
3	2	setccat 18119	. . 3 ⊢ (2o ∈ V → (SetCat‘2o) ∈ Cat)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ Cat
5		1oex 8448	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5, 5	xpex 7737	. . 3 ⊢ (1o × 1o) ∈ V
7		p0ex 5342	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
8	6, 7	xpex 7737	. 2 ⊢ ((1o × 1o) × {∅}) ∈ V
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
10	2, 9	setcbas 18112	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘(SetCat‘2o)))
11	10	mptru 1568	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘(SetCat‘2o))
12		2on0 8453	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
13		2on 8452	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ On
14	13	onordi 6460	. . . . . . 7 ⊢ Ord 2o
15		ordge1n0 8464	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 2o → (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
17	12, 16	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 2o
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ⊆ 2o)
19		1n0 8457	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ≠ ∅)
21		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((1o × 1o) × {∅}) = ((1o × 1o) × {∅}))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘2o)) = (Homf ‘(SetCat‘2o))
23	11, 18, 20, 21, 22	nelsubclem 49689	. . 3 ⊢ (⊤ → (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧)))))
24	23	mptru 1568	. 2 ⊢ (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧))))
25	4, 8, 5, 24	nelsubc3lem 49692	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561  ⊤wtru 1562  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   × cxp 5646  Ord word 6346   Fn wfn 6517  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  1_oc1o 8431  2_oc2o 8432  Basecbs 17246  compcco 17299  Catccat 17697  Idccid 17698  Hom_f chomf 17699   ⊆_cat cssc 17841  SetCatcsetc 18109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-hom 17311  df-cco 17312  df-cat 17701  df-cid 17702  df-homf 17703  df-ssc 17844  df-setc 18110

This theorem is referenced by: (None)