Theorem nelsubc3 49053

Description: Remark 4.2(2) of [Adamek] p. 48. There exists a set satisfying all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. Therefore such condition in df-subc 17754 is necessary.

Note that this theorem cheated a little bit because (𝐶 ↾_cat 𝐽) is not a category. In fact (𝐶 ↾_cat 𝐽) ∈ Cat is a stronger statement than the condition (d) of Definition 4.1(1) of [Adamek] p. 48, as stated here (see the proof of issubc3 17791). To construct such a category, see setc1onsubc 49584 and cnelsubc 49586. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc3	⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦   𝑔,𝑐,𝑗,𝑠   𝑧,𝑐,𝑗,𝑠,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nelsubc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8422	. . 3 ⊢ 2o ∈ V
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o)
3	2	setccat 18027	. . 3 ⊢ (2o ∈ V → (SetCat‘2o) ∈ Cat)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ Cat
5		1oex 8421	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5, 5	xpex 7709	. . 3 ⊢ (1o × 1o) ∈ V
7		p0ex 5334	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
8	6, 7	xpex 7709	. 2 ⊢ ((1o × 1o) × {∅}) ∈ V
9	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
10	2, 9	setcbas 18020	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘(SetCat‘2o)))
11	10	mptru 1547	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘(SetCat‘2o))
12		2on0 8425	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
13		2on 8424	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ On
14	13	onordi 6433	. . . . . . 7 ⊢ Ord 2o
15		ordge1n0 8435	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 2o → (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1o ⊆ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
17	12, 16	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 1o ⊆ 2o
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ⊆ 2o)
19		1n0 8429	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1o ≠ ∅)
21		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((1o × 1o) × {∅}) = ((1o × 1o) × {∅}))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(SetCat‘2o)) = (Homf ‘(SetCat‘2o))
23	11, 18, 20, 21, 22	nelsubclem 49049	. . 3 ⊢ (⊤ → (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧)))))
24	23	mptru 1547	. 2 ⊢ (((1o × 1o) × {∅}) Fn (1o × 1o) ∧ (((1o × 1o) × {∅}) ⊆cat (Homf ‘(SetCat‘2o)) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 1o ((Id‘(SetCat‘2o))‘𝑥) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 1o ∀𝑦 ∈ 1o ∀𝑧 ∈ 1o ∀𝑓 ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦((1o × 1o) × {∅})𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(SetCat‘2o))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥((1o × 1o) × {∅})𝑧))))
25	4, 8, 5, 24	nelsubc3lem 49052	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ Cat ∃𝑗∃𝑠(𝑗 Fn (𝑠 × 𝑠) ∧ (𝑗 ⊆cat (Homf ‘𝑐) ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((Id‘𝑐)‘𝑥) ∈ (𝑥𝑗𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ∀𝑧 ∈ 𝑠 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝑗𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝑗𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑐)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝑗𝑧))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   × cxp 5629  Ord word 6319   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Basecbs 17155  compcco 17208  Catccat 17605  Idccid 17606  Hom_f chomf 17607   ⊆_cat cssc 17749  SetCatcsetc 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17609  df-cid 17610  df-homf 17611  df-ssc 17752  df-setc 18018

This theorem is referenced by: (None)