Theorem mplcoe2 19683

Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. (The assumption that 𝑅 is a commutative ring is not strictly necessary, because the submonoid of monomials is in the center of the multiplicative monoid of polynomials, but it simplifies the proof.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe1.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplcoe1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
mplcoe2.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
mplcoe2.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mplcoe2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe2	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 1 , 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑘,𝑦   1 ,𝑘,𝑦   𝑘,𝐺   𝑓,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,𝑘,𝑦   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   0 ,𝑓,𝑘,𝑦   𝑓,𝑌,𝑘,𝑦   𝑘,𝑊,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑘)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplcoe2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe1.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplcoe1.d	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		mplcoe1.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		mplcoe1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		mplcoe1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mplcoe2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
7		mplcoe2.m	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
8		mplcoe2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
9		mplcoe2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		crngring 18765	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		mplcoe2.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
13	1	mplcrng 19667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ CRing)
14	5, 9, 13	syl2anc 565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
15	14	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑃 ∈ CRing)
16		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	5	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
18	11	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Ring)
19		simprr 748	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20	1, 8, 16, 17, 18, 19	mvrcl 19663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑉‘𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21		simprl 746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22	1, 8, 16, 17, 18, 21	mvrcl 19663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑉‘𝑥) ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
24	6, 23	mgpplusg 18700	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝐺)
25	24	eqcomi 2780	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (.r‘𝑃)
26	16, 25	crngcom 18769	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝑉‘𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑉‘𝑥) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
27	15, 20, 22, 26	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
28	27	ralrimivva 3120	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑉‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑥)) = ((𝑉‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝑉‘𝑦)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 28	mplcoe5 19682	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑌, 1 , 0 )) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑌‘𝑘) ↑ (𝑉‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  ifcif 4225   ↦ cmpt 4863  ^◡ccnv 5248   “ cima 5252  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↑_𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  ℕcn 11221  ℕ₀cn0 11493  Basecbs 16063  +_gcplusg 16148  ._rcmulr 16149  0_gc0g 16307   Σ_g cgsu 16308  ._gcmg 17747  mulGrpcmgp 18696  1_rcur 18708  Ringcrg 18754  CRingccrg 18755   mVar cmvr 19566   mPoly cmpl 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-tset 16167  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-srg 18713  df-ring 18756  df-cring 18757  df-subrg 18987  df-psr 19570  df-mvr 19571  df-mpl 19572

This theorem is referenced by:  mplbas2  19684