Theorem df2idl2crng 21607

Description: The predicate "is an ideal of the commutative ring 𝑅". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 27-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
df2idl2crng.u	⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
df2idl2crng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
df2idl2crng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
df2idl2crng	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem df2idl2crng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20502	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		df2idl2crng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (2Ideal‘𝑅)
3		df2idl2crng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		df2idl2crng.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	2, 3, 4	df2idl2 21581	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))))
7		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ CRing)
8		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	3	subgss 19366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
12	11	sseld 3912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ 𝐵))
13	12	adantld 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐵))
14	13	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	3, 4, 7, 9, 14	crngcomd 20512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
16	15	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
17	16	pm4.71da 573	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)))
18	17	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼) ↔ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))
19	18	2ralbidva 3228	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼))
20	19	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)))
21	6, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  SubGrpcsubg 19359  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  2Idealc2idl 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-2idl 21573

This theorem is used by: (None)