MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmulrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem qusmulrng 21137
Description: Value of the multiplication operation in a quotient ring of a non-unital ring. Formerly part of proof for quscrng 21138. Similar to qusmul2 21134. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qusmulrng.e ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
qusmulrng.h 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
qusmulrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qusmulrng.p Β· = (.rβ€˜π‘…)
qusmulrng.a βˆ™ = (.rβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
qusmulrng (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ([𝑋] ∼ βˆ™ [π‘Œ] ∼ ) = [(𝑋 Β· π‘Œ)] ∼ )
Proof of Theorem qusmulrng
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusmulrng.h . . . 4 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
21a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ ))
3 qusmulrng.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
43a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5 qusmulrng.e . . . . 5 ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
63, 5eqger 19105 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ ∼ Er 𝐡)
763ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ∼ Er 𝐡)
8 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
9 eqid 2726 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
10 qusmulrng.p . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
113, 5, 9, 102idlcpblrng 21128 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž Β· 𝑐) ∼ (𝑏 Β· 𝑑)))
128anim1i 614 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)))
13 3anass 1092 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)))
1412, 13sylibr 233 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡))
153, 10rngcl 20069 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
17 qusmulrng.a . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π»)
182, 4, 7, 8, 11, 16, 10, 17qusmulval 17510 . 2 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ([𝑋] ∼ βˆ™ [π‘Œ] ∼ ) = [(𝑋 Β· π‘Œ)] ∼ )
19183expb 1117 1 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ([𝑋] ∼ βˆ™ [π‘Œ] ∼ ) = [(𝑋 Β· π‘Œ)] ∼ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   Er wer 8702  [cec 8703  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   /s cqus 17460  SubGrpcsubg 19047   ~QG cqg 19049  Rngcrng 20057  2Idealc2idl 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-oppr 20236  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-2idl 21107
This theorem is referenced by:  quscrng  21138  rngqiprnglinlem2  21145  pzriprnglem12  21379
  Copyright terms: Public domain W3C validator