Theorem qusmulrng 21587

Description: Value of the multiplication operation in a quotient ring of a non-unital ring. Formerly part of proof for quscrng 21588. Similar to qusmul2idl 21583. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmulrng.e	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
qusmulrng.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
qusmulrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmulrng.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulrng.a	⊢ ∙ = (.r‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
qusmulrng	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Proof of Theorem qusmulrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmulrng.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 /s ∼ )
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐻 = (𝑅 /s ∼ ))
3		qusmulrng.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5		qusmulrng.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝑆)
6	3, 5	eqger 19399	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ∼ Er 𝐵)
7	6	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ∼ Er 𝐵)
8		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Rng)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
10		qusmulrng.p	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	3, 5, 9, 10	2idlcpblrng 21574	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎 · 𝑐) ∼ (𝑏 · 𝑑)))
12	8	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
13		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)))
14	12, 13	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵))
15	3, 10	rngcl 20395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ 𝐵)) → (𝑏 · 𝑑) ∈ 𝐵)
17		qusmulrng.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝐻)
18	2, 4, 7, 8, 11, 16, 10, 17	qusmulval 17736	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )
19	18	3expb 1138	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   Er wer 8722  [cec 8723  Basecbs 17396  ._rcmulr 17438   /_s cqus 17686  SubGrpcsubg 19339   ~_QG cqg 19341  Rngcrng 20383  2Idealc2idl 21551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-0g 17621  df-imas 17689  df-qus 17690  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-eqg 19344  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-oppr 20576  df-lss 21216  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-2idl 21552

This theorem is used by:  quscrng  21588  rngqiprnglinlem2  21597  pzriprnglem12  21807