Theorem ecqusaddd 19162

Description: Addition of equivalence classes in a quotient group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem ecqusaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2	1	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
3		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
5		ecqusaddd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6		ecqusaddd.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
7	6	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
8	5, 7	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
9		ecqusaddd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
12	8, 9, 10, 11	qusadd 19158	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
13	4, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
14	6	eceq2i 8681	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
15	6	eceq2i 8681	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
16	14, 15	oveq12i 7374	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
17	6	eceq2i 8681	. . 3 ⊢ [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
18	13, 16, 17	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ )
19	18	eqcomd 2743	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  [cec 8636  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   /_s cqus 17464  NrmSGrpcnsg 19092   ~_QG cqg 19093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096

This theorem is referenced by:  ecqusaddcl  19163  rngqiprngghm  21293