Theorem ecqusaddd 19175

Description: Addition of equivalence classes in a quotient group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem ecqusaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2	1	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
3		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	2, 3	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
5		ecqusaddd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6		ecqusaddd.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
7	6	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
8	5, 7	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
9		ecqusaddd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
12	8, 9, 10, 11	qusadd 19171	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
13	4, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
14	6	eceq2i 8761	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
15	6	eceq2i 8761	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
16	14, 15	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
17	6	eceq2i 8761	. . 3 ⊢ [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
18	13, 16, 17	3eqtr4g 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ )
19	18	eqcomd 2741	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  [cec 8717  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271   /_s cqus 17519  NrmSGrpcnsg 19104   ~_QG cqg 19105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108

This theorem is referenced by:  ecqusaddcl  19176  rngqiprngghm  21260