Theorem usgr2wspthon 30258

Description: A simple path of length 2 between two vertices corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.) (Revised by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2wspthon0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wspthon	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝑇,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem usgr2wspthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruspgr 29471	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ USPGraph)
3		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		usgr2wspthon0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	elwspths2onw 30253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
8		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ USGraph)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
10		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
12		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		usgr2wspthon0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	5, 13	usgr2wspthons3 30257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
15	9, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1397	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
16	15	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
17		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
18		3anass 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
19	18	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))
20	19	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
21	17, 20	bitri 278	. . . 4 ⊢ (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
22	16, 21	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
23	22	rexbidva 3193	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
24	7, 23	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {cpr 4596  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  2c2 12295  ⟨“cs3 14879  Vtxcvtx 29287  Edgcedg 29338  USPGraphcuspgr 29439  USGraphcusgr 29440   WSPathsNOn cwwspthsnon 30119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-umgr 29374  df-uspgr 29441  df-usgr 29442  df-wlks 29890  df-wlkson 29891  df-trls 29981  df-trlson 29982  df-pths 30004  df-spths 30005  df-pthson 30006  df-spthson 30007  df-wwlks 30120  df-wwlksn 30121  df-wwlksnon 30122  df-wspthsnon 30124

This theorem is referenced by:  fusgr2wsp2nb  30626