Theorem usgr2wspthon 29985

Description: A simple path of length 2 between two vertices corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2wspthon0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wspthon	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝑇,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem usgr2wspthon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 29202	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		usgr2wspthon0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7	elwspths2on 29980	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
9	2, 4, 6, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐺 ∈ USGraph)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
12		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
14		simplrr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
15		usgr2wspthon0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
16	7, 15	usgr2wspthons3 29984	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
17	11, 12, 13, 14, 16	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
18	17	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
19		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
20		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
21	20	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))
22	21	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
23	19, 22	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
24	18, 23	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
25	24	rexbidva 3177	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
26	9, 25	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  ⟨“cs3 14881  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UPGraphcupgr 29097  USGraphcusgr 29166   WSPathsNOn cwwspthsnon 29849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-wlks 29617  df-wlkson 29618  df-trls 29710  df-trlson 29711  df-pths 29734  df-spths 29735  df-pthson 29736  df-spthson 29737  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851  df-wwlksnon 29852  df-wspthsnon 29854

This theorem is referenced by:  fusgr2wsp2nb  30353