MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wspthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wspthon 27107
Description: A simple path of length 2 between two vertices corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgr2wspthon0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr2wspthon ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝑇,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem usgr2wspthon
StepHypRef Expression
1 usgrupgr 26292 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
21adantr 466 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
3 simpl 468 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐴𝑉)
43adantl 467 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 simpr 471 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
65adantl 467 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
7 usgr2wspthon0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87elwspths2on 27101 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
92, 4, 6, 8syl3anc 1476 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
10 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ USGraph)
1110adantr 466 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
12 simplrl 762 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐴𝑉)
13 simpr 471 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
14 simplrr 763 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐶𝑉)
15 usgr2wspthon0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
167, 15usgr2wspthons3 27106 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝑏𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1711, 12, 13, 14, 16syl13anc 1478 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1817anbi2d 614 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
19 anass 454 . . . . 5 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
20 3anass 1080 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2120bicomi 214 . . . . . 6 ((𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))
2221anbi2i 609 . . . . 5 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2319, 22bitri 264 . . . 4 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2418, 23syl6bbr 278 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
2524rexbidva 3197 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
269, 25bitrd 268 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {cpr 4318  cfv 6029  (class class class)co 6791  2c2 11270  ⟨“cs3 13789  Vtxcvtx 26088  Edgcedg 26153  UPGraphcupgr 26189  USGraphcusgr 26259   WSPathsNOn cwwspthsnon 26950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-ac2 9485  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-ac 9137  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-concat 13490  df-s1 13491  df-s2 13795  df-s3 13796  df-edg 26154  df-uhgr 26167  df-upgr 26191  df-umgr 26192  df-uspgr 26260  df-usgr 26261  df-wlks 26723  df-wlkson 26724  df-trls 26817  df-trlson 26818  df-pths 26840  df-spths 26841  df-pthson 26842  df-spthson 26843  df-wwlks 26951  df-wwlksn 26952  df-wwlksnon 26953  df-wspthsnon 26955
This theorem is referenced by:  fusgr2wsp2nb  27509
  Copyright terms: Public domain W3C validator