MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr2wspthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr2wspthon 27736
Description: A simple path of length 2 between two vertices corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
usgr2wspthon0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr2wspthon ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝑇,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem usgr2wspthon
StepHypRef Expression
1 usgrupgr 26959 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
21adantr 483 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ UPGraph)
3 simpl 485 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐴𝑉)
43adantl 484 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
5 simpr 487 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
65adantl 484 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
7 usgr2wspthon0.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87elwspths2on 27731 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
92, 4, 6, 8syl3anc 1365 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶))))
10 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → 𝐺 ∈ USGraph)
1110adantr 483 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
12 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐴𝑉)
13 simpr 487 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
14 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → 𝐶𝑉)
15 usgr2wspthon0.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
167, 15usgr2wspthons3 27735 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝑏𝑉𝐶𝑉)) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1711, 12, 13, 14, 16syl13anc 1366 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
1817anbi2d 630 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
19 anass 471 . . . . 5 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
20 3anass 1089 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2120bicomi 226 . . . . . 6 ((𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))
2221anbi2i 624 . . . . 5 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2319, 22bitri 277 . . . 4 (((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ (𝐴𝐶 ∧ {𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸)))
2418, 23syl6bbr 291 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
2524rexbidva 3294 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (∃𝑏𝑉 (𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
269, 25bitrd 281 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉)) → (𝑇 ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑏𝑉 ((𝑇 = ⟨“𝐴𝑏𝐶”⟩ ∧ 𝐴𝐶) ∧ ({𝐴, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝐶} ∈ 𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137  {cpr 4561  cfv 6348  (class class class)co 7148  2c2 11684  ⟨“cs3 14196  Vtxcvtx 26773  Edgcedg 26824  UPGraphcupgr 26857  USGraphcusgr 26926   WSPathsNOn cwwspthsnon 27599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942  df-s2 14202  df-s3 14203  df-edg 26825  df-uhgr 26835  df-upgr 26859  df-umgr 26860  df-uspgr 26927  df-usgr 26928  df-wlks 27373  df-wlkson 27374  df-trls 27466  df-trlson 27467  df-pths 27489  df-spths 27490  df-pthson 27491  df-spthson 27492  df-wwlks 27600  df-wwlksn 27601  df-wwlksnon 27602  df-wspthsnon 27604
This theorem is referenced by:  fusgr2wsp2nb  28105
  Copyright terms: Public domain W3C validator