MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacfac 15390
Description: Relate falling factorial to factorial. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacfac (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 FallFac 𝑁) = (!‘𝑁))

Proof of Theorem fallfacfac
StepHypRef Expression
1 nn0fz0 13000 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
2 fallfacval4 15388 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 FallFac 𝑁) = ((!‘𝑁) / (!‘(𝑁𝑁))))
31, 2sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 FallFac 𝑁) = ((!‘𝑁) / (!‘(𝑁𝑁))))
4 nn0cn 11895 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
54subidd 10974 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑁) = 0)
65fveq2d 6656 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝑁)) = (!‘0))
7 fac0 13632 . . . 4 (!‘0) = 1
86, 7syl6eq 2873 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝑁)) = 1)
98oveq2d 7156 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / (!‘(𝑁𝑁))) = ((!‘𝑁) / 1))
10 faccl 13639 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1110nncnd 11641 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1211div1d 11397 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) / 1) = (!‘𝑁))
133, 9, 123eqtrd 2861 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 FallFac 𝑁) = (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527  cmin 10859   / cdiv 11286  0cn0 11885  ...cfz 12885  !cfa 13629   FallFac cfallfac 15349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-prod 15251  df-fallfac 15352
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator