MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsexp 16749
Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝐴𝑚) = (𝐴↑1))
21breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
32bibi1d 343 . . . . 5 (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))))
5 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑘))
65breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑘)))
76bibi1d 343 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴))))
9 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1110bibi1d 343 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
13 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑁))
1413breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑁)))
1514bibi1d 343 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))))
17 zcn 12616 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918exp1d 14178 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019breq2d 5160 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))
21 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22 expp1 14106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2318, 21, 22syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2423breq2d 5160 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27 zexpcl 14114 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
2826, 21, 27syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
29 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30 euclemma 16747 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3224, 31bitrd 279 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
33 orbi1 917 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃𝐴𝑃𝐴)))
34 oridm 904 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐴𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴)
3533, 34bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴))
3635bibi2d 342 . . . . . . 7 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3732, 36syl5ibcom 245 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3837expcom 413 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
3938a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
404, 8, 12, 16, 20, 39nnind 12282 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
4140impcom 407 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
42413impa 1109 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  16750  prmdvdssq  16752  rpexp  16756  pythagtriplem4  16853  lgslem4  27359  lgsqr  27410  lgsqrmodndvds  27412  2sqlem3  27479  aks6d1c7  42166  etransclem41  46231  lighneallem4  47535
  Copyright terms: Public domain W3C validator