MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsexp 16598
Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexp ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))

Proof of Theorem prmdvdsexp
Dummy variables ๐‘š ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘š = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘š) = (๐ดโ†‘1))
21breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘š = 1 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘1)))
32bibi1d 344 . . . . 5 (๐‘š = 1 โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
43imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = 1 โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
5 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘š) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
65breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜)))
76bibi1d 344 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
87imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
9 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘š) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
109breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
1110bibi1d 344 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
1211imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
13 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘š) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘)))
1514bibi1d 344 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
1615imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘š) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
17 zcn 12511 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1918exp1d 14053 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
2019breq2d 5122 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
21 nnnn0 12427 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
22 expp1 13981 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2318, 21, 22syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2423breq2d 5122 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
26 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
27 zexpcl 13989 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
2826, 21, 27syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
29 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
30 euclemma 16596 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
3224, 31bitrd 279 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
33 orbi1 917 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
34 oridm 904 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
3533, 34bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
3635bibi2d 343 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
3732, 36syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
3837expcom 415 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
3938a2d 29 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))))
404, 8, 12, 16, 20, 39nnind 12178 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)))
4140impcom 409 . 2 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
42413impa 1111 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐ดโ†‘๐‘) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  16599  prmdvdssq  16601  rpexp  16605  pythagtriplem4  16698  lgslem4  26664  lgsqr  26715  lgsqrmodndvds  26717  2sqlem3  26784  etransclem41  44590  lighneallem4  45876
  Copyright terms: Public domain W3C validator