MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsexp 16047
Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝐴𝑚) = (𝐴↑1))
21breq2d 5069 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
32bibi1d 345 . . . . 5 (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴)))
43imbi2d 342 . . . 4 (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))))
5 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑘))
65breq2d 5069 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑘)))
76bibi1d 345 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)))
87imbi2d 342 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴))))
9 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
109breq2d 5069 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
1110bibi1d 345 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
1211imbi2d 342 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
13 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑁))
1413breq2d 5069 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴𝑁)))
1514bibi1d 345 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
1615imbi2d 342 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑚) ↔ 𝑃𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))))
17 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1918exp1d 13493 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019breq2d 5069 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃𝐴))
21 nnnn0 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22 expp1 13424 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2318, 21, 22syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2423breq2d 5069 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
25 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27 zexpcl 13432 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
2826, 21, 27syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℤ)
29 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30 euclemma 16045 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
3224, 31bitrd 280 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)))
33 orbi1 911 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃𝐴𝑃𝐴)))
34 oridm 898 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐴𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴)
3533, 34syl6bb 288 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴) ↔ 𝑃𝐴))
3635bibi2d 344 . . . . . . 7 ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ∨ 𝑃𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3732, 36syl5ibcom 246 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴)))
3837expcom 414 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
3938a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑘) ↔ 𝑃𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃𝐴))))
404, 8, 12, 16, 20, 39nnind 11644 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴)))
4140impcom 408 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
42413impa 1102 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴𝑁) ↔ 𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  16048  rpexp  16052  pythagtriplem4  16144  lgslem4  25803  lgsqr  25854  lgsqrmodndvds  25856  2sqlem3  25923  etransclem41  42437  lighneallem4  43652
  Copyright terms: Public domain W3C validator