Theorem prmdvdsexp 16663

Description: A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexp	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Proof of Theorem prmdvdsexp

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑1))
2	1	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑1)))
3	2	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
5		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑘))
6	5	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘)))
7	6	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
9		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1))))
11	10	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
13		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑁))
14	13	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁)))
15	14	bibi1d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑚) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
17		zcn 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	exp1d 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑1) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
21		nnnn0 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		expp1 14012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
23	18, 21, 22	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
24	23	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
25		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		zexpcl 14020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ)
29		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
30		euclemma 16661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
32	24, 31	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
33		orbi1 917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)))
34		oridm 904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐴 ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)
35	33, 34	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
36	35	bibi2d 342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ∨ 𝑃 ∥ 𝐴)) ↔ (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
37	32, 36	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
38	37	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
39	38	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑘) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))))
40	4, 8, 12, 16, 20, 39	nnind 12183	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴)))
41	40	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))
42	41	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝐴↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  ℂcc 11045  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12421  ℤcz 12508  ↑cexp 14005   ∥ cdvds 16200  ℙcprime 16619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-sup 9370  df-inf 9371  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12931  df-fl 13733  df-mod 13811  df-seq 13946  df-exp 14006  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16201  df-gcd 16443  df-prm 16620

This theorem is referenced by:  prmdvdsexpb  16664  prmdvdssq  16666  rpexp  16670  pythagtriplem4  16768  lgslem4  27246  lgsqr  27297  lgsqrmodndvds  27299  2sqlem3  27366  cos9thpiminplylem2  33768  aks6d1c7  42167  etransclem41  46268  lighneallem4  47606