MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const 25657
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itg2const
StepHypRef Expression
1 reex 11221 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
21a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
3 simpl3 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
4 1re 11236 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
5 0re 11238 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
64, 5ifcli 4571 . . . . . . 7 if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„)
8 fconstmpt 5734 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต)
98a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต))
10 eqidd 2728 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))
112, 3, 7, 9, 10offval2 7699 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))))
12 ovif2 7513 . . . . . . 7 (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0))
13 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
14 elrege0 13455 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1615simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817mulridd 11253 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1917mul01d 11435 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2018, 19ifeq12d 4545 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2112, 20eqtrid 2779 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2221mpteq2dv 5244 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2311, 22eqtrd 2767 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
24 eqid 2727 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
2524i1f1 25606 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
26253adant3 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2726, 16i1fmulc 25620 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) โˆˆ dom โˆซ1)
2823, 27eqeltrrd 2829 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2915simprd 495 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
30 0le0 12335 . . . . . 6 0 โ‰ค 0
31 breq2 5146 . . . . . . 7 (๐ต = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
32 breq2 5146 . . . . . . 7 (0 = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
3331, 32ifboth 4563 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3429, 30, 33sylancl 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3534ralrimivw 3145 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
36 ax-resscn 11187 . . . . . . 7 โ„ โІ โ„‚
3736a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โІ โ„‚)
3816adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
39 ifcl 4569 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4038, 5, 39sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4140ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
42 eqid 2727 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
4342fnmpt 6689 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4537, 440pledm 25589 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” (โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
465a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
47 fconstmpt 5734 . . . . . . 7 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
4847a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
49 eqidd 2728 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
502, 46, 40, 48, 49ofrfval2 7700 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5145, 50bitrd 279 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5235, 51mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
53 itg2itg1 25653 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5428, 52, 53syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5526, 16itg1mulc 25621 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))))
5623fveq2d 6895 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5724itg11 25607 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
58573adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
5958oveq2d 7430 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6055, 56, 593eqtr3d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6154, 60eqtrd 2767 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  Vcvv 3469   โІ wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225   ร— cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7677   โˆ˜r cofr 7678  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   ยท cmul 11135  +โˆžcpnf 11267   โ‰ค cle 11271  [,)cico 13350  volcvol 25379  โˆซ1citg1 25531  โˆซ2citg2 25532  0๐‘c0p 25585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-xmet 21259  df-met 21260  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-0p 25586
This theorem is referenced by:  itg2const2  25658  itg2gt0  25677  itg2cnlem2  25679  iblconst  25734  itgconst  25735  bddiblnc  25758  itg2gt0cn  37083  ftc1anclem7  37107
  Copyright terms: Public domain W3C validator