MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const 25257
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itg2const
StepHypRef Expression
1 reex 11200 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
21a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
3 simpl3 1193 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
4 1re 11213 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
5 0re 11215 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
64, 5ifcli 4575 . . . . . . 7 if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„)
8 fconstmpt 5738 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต)
98a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต))
10 eqidd 2733 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))
112, 3, 7, 9, 10offval2 7689 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))))
12 ovif2 7506 . . . . . . 7 (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0))
13 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
14 elrege0 13430 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1615simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817mulridd 11230 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1917mul01d 11412 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2018, 19ifeq12d 4549 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2112, 20eqtrid 2784 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2221mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2311, 22eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
2524i1f1 25206 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
26253adant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2726, 16i1fmulc 25220 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) โˆˆ dom โˆซ1)
2823, 27eqeltrrd 2834 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2915simprd 496 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
30 0le0 12312 . . . . . 6 0 โ‰ค 0
31 breq2 5152 . . . . . . 7 (๐ต = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
32 breq2 5152 . . . . . . 7 (0 = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
3331, 32ifboth 4567 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3429, 30, 33sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3534ralrimivw 3150 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
36 ax-resscn 11166 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„‚
3736a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โŠ† โ„‚)
3816adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
39 ifcl 4573 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4038, 5, 39sylancl 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4140ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
42 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
4342fnmpt 6690 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4537, 440pledm 25189 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” (โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
465a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
47 fconstmpt 5738 . . . . . . 7 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
4847a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
49 eqidd 2733 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
502, 46, 40, 48, 49ofrfval2 7690 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5145, 50bitrd 278 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5235, 51mpbird 256 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
53 itg2itg1 25253 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5428, 52, 53syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5526, 16itg1mulc 25221 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))))
5623fveq2d 6895 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5724itg11 25207 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
58573adant3 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
5958oveq2d 7424 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6055, 56, 593eqtr3d 2780 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6154, 60eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆ˜f cof 7667   โˆ˜r cofr 7668  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244   โ‰ค cle 11248  [,)cico 13325  volcvol 24979  โˆซ1citg1 25131  โˆซ2citg2 25132  0๐‘c0p 25185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-0p 25186
This theorem is referenced by:  itg2const2  25258  itg2gt0  25277  itg2cnlem2  25279  iblconst  25334  itgconst  25335  bddiblnc  25358  itg2gt0cn  36538  ftc1anclem7  36562
  Copyright terms: Public domain W3C validator