Theorem itg2const 24038

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10420	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ∈ V)
3		simpl3 1173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		1re 10433	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0re 10435	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ifcli 4390	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
8		fconstmpt 5458	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵))
10		eqidd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
11	2, 3, 7, 9, 10	offval2 7238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))))
12		ovif2 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0))
13		simp3 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
14		elrege0 12652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	sylib 210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 10462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	mulid1d 10451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
19	17	mul01d 10633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 0) = 0)
20	18, 19	ifeq12d 4364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
21	12, 20	syl5eq 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22	21	mpteq2dv 5017	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
23	11, 22	eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
24		eqid 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
25	24	i1f1 23988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
26	25	3adant3 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
27	26, 16	i1fmulc 24001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) ∈ dom ∫1)
28	23, 27	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1)
29	15	simprd 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
30		0le0 11542	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
31		breq2 4927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
32		breq2 4927	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
33	31, 32	ifboth 4382	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	29, 30, 33	sylancl 577	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
35	34	ralrimivw 3127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
36		ax-resscn 10386	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ⊆ ℂ)
38	16	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		ifcl 4388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
40	38, 5, 39	sylancl 577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
41	40	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
42		eqid 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
43	42	fnmpt 6312	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
45	37, 44	0pledm 23971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
46	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
47		fconstmpt 5458	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
49		eqidd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
50	2, 46, 40, 48, 49	ofrfval2 7239	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
51	45, 50	bitrd 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
52	35, 51	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
53		itg2itg1 24034	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
54	28, 52, 53	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
55	26, 16	itg1mulc 24002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))))
56	23	fveq2d 6497	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
57	24	itg11 23989	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
58	57	3adant3 1112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
59	58	oveq2d 6986	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
60	55, 56, 59	3eqtr3d 2816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
61	54, 60	eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  Vcvv 3409   ⊆ wss 3823  ifcif 4344  {csn 4435   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   × cxp 5399  dom cdm 5401   Fn wfn 6177  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ∘_𝑓 cof 7219   ∘_𝑟 cofr 7220  ℂcc 10327  ℝcr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   · cmul 10334  +∞cpnf 10465   ≤ cle 10469  [,)cico 12550  volcvol 23761  ∫₁citg1 23913  ∫₂citg2 23914  0_𝑝c0p 23967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-dju 9118  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xadd 12319  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-sum 14898  df-xmet 20234  df-met 20235  df-ovol 23762  df-vol 23763  df-mbf 23917  df-itg1 23918  df-itg2 23919  df-0p 23968

This theorem is referenced by:  itg2const2  24039  itg2gt0  24058  itg2cnlem2  24060  iblconst  24115  itgconst  24116  itg2gt0cn  34388  bddiblnc  34403  ftc1anclem7  34414