MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const 25788
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const
StepHypRef Expression
1 reex 11271 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ∈ V)
3 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 1re 11286 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0re 11288 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
64, 5ifcli 4595 . . . . . . 7 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
8 fconstmpt 5761 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵))
10 eqidd 2735 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
112, 3, 7, 9, 10offval2 7730 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0))))
12 ovif2 7545 . . . . . . 7 (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0))
13 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
14 elrege0 13510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1513, 14sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1615simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716recnd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817mulridd 11303 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1917mul01d 11485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 0) = 0)
2018, 19ifeq12d 4569 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑥𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0)) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
2112, 20eqtrid 2786 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0)) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
2221mpteq2dv 5271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2311, 22eqtrd 2774 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
24 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
2524i1f1 25737 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
26253adant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
2726, 16i1fmulc 25751 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) ∈ dom ∫1)
2823, 27eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1)
2915simprd 495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
30 0le0 12390 . . . . . 6 0 ≤ 0
31 breq2 5173 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
32 breq2 5173 . . . . . . 7 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
3331, 32ifboth 4587 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3429, 30, 33sylancl 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3534ralrimivw 3152 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
36 ax-resscn 11237 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ⊆ ℂ)
3816adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 ifcl 4593 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
4038, 5, 39sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
4140ralrimiva 3148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
42 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
4342fnmpt 6719 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
4537, 440pledm 25720 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
465a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
47 fconstmpt 5761 . . . . . . 7 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
49 eqidd 2735 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
502, 46, 40, 48, 49ofrfval2 7731 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
5145, 50bitrd 279 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
5235, 51mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
53 itg2itg1 25784 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5428, 52, 53syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5526, 16itg1mulc 25752 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))))
5623fveq2d 6923 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5724itg11 25738 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
58573adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
5958oveq2d 7461 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
6055, 56, 593eqtr3d 2782 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
6154, 60eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  Vcvv 3482  wss 3970  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5169  cmpt 5252   × cxp 5697  dom cdm 5699   Fn wfn 6567  cfv 6572  (class class class)co 7445  f cof 7708  r cofr 7709  cc 11178  cr 11179  0cc0 11180  1c1 11181   · cmul 11185  +∞cpnf 11317  cle 11321  [,)cico 13405  volcvol 25510  1citg1 25662  2citg2 25663  0𝑝c0p 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-disj 5137  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-ofr 7711  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xadd 13172  df-ioo 13407  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25511  df-vol 25512  df-mbf 25666  df-itg1 25667  df-itg2 25668  df-0p 25717
This theorem is referenced by:  itg2const2  25789  itg2gt0  25808  itg2cnlem2  25810  iblconst  25865  itgconst  25866  bddiblnc  25889  itg2gt0cn  37583  ftc1anclem7  37607
  Copyright terms: Public domain W3C validator