Theorem itg2const 25699

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11119	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ∈ V)
3		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ifcli 4527	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
8		fconstmpt 5686	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵))
10		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
11	2, 3, 7, 9, 10	offval2 7642	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))))
12		ovif2 7457	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0))
13		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
14		elrege0 13372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
19	17	mul01d 11334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 0) = 0)
20	18, 19	ifeq12d 4501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
21	12, 20	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22	21	mpteq2dv 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
23	11, 22	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
24		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
25	24	i1f1 25649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
26	25	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
27	26, 16	i1fmulc 25662	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) ∈ dom ∫1)
28	23, 27	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1)
29	15	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
30		0le0 12248	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
31		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
32		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
33	31, 32	ifboth 4519	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	29, 30, 33	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
35	34	ralrimivw 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
36		ax-resscn 11085	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ⊆ ℂ)
38	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		ifcl 4525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
40	38, 5, 39	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
41	40	ralrimiva 3128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
43	42	fnmpt 6632	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
45	37, 44	0pledm 25632	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
46	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
47		fconstmpt 5686	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
49		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
50	2, 46, 40, 48, 49	ofrfval2 7643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
51	45, 50	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
52	35, 51	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
53		itg2itg1 25695	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
54	28, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
55	26, 16	itg1mulc 25663	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))))
56	23	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
57	24	itg11 25650	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
58	57	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
59	58	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
60	55, 56, 59	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
61	54, 60	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  dom cdm 5624   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ∘_r cofr 7621  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  +∞cpnf 11165   ≤ cle 11169  [,)cico 13265  volcvol 25422  ∫₁citg1 25574  ∫₂citg2 25575  0_𝑝c0p 25628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xadd 13029  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-xmet 21304  df-met 21305  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-0p 25629

This theorem is referenced by:  itg2const2  25700  itg2gt0  25719  itg2cnlem2  25721  iblconst  25777  itgconst  25778  bddiblnc  25801  itg2gt0cn  37878  ftc1anclem7  37902