Theorem itg2const 25105

Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11142	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ∈ V)
3		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		1re 11155	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		0re 11157	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ifcli 4533	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
8		fconstmpt 5694	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵))
10		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
11	2, 3, 7, 9, 10	offval2 7637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))))
12		ovif2 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0))
13		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
14		elrege0 13371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15	13, 14	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
16	15	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	mulid1d 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
19	17	mul01d 11354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 0) = 0)
20	18, 19	ifeq12d 4507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
21	12, 20	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22	21	mpteq2dv 5207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
23	11, 22	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
24		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
25	24	i1f1 25054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
26	25	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
27	26, 16	i1fmulc 25068	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) ∈ dom ∫1)
28	23, 27	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1)
29	15	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
30		0le0 12254	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
31		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
32		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
33	31, 32	ifboth 4525	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	29, 30, 33	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
35	34	ralrimivw 3147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
36		ax-resscn 11108	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ⊆ ℂ)
38	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		ifcl 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
40	38, 5, 39	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
41	40	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
43	42	fnmpt 6641	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
44	41, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
45	37, 44	0pledm 25037	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
46	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
47		fconstmpt 5694	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
49		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
50	2, 46, 40, 48, 49	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
51	45, 50	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
52	35, 51	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
53		itg2itg1 25101	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
54	28, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
55	26, 16	itg1mulc 25069	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))))
56	23	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
57	24	itg11 25055	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
58	57	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
59	58	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
60	55, 56, 59	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
61	54, 60	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   ≤ cle 11190  [,)cico 13266  volcvol 24827  ∫₁citg1 24979  ∫₂citg2 24980  0_𝑝c0p 25033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  itg2const2  25106  itg2gt0  25125  itg2cnlem2  25127  iblconst  25182  itgconst  25183  bddiblnc  25206  itg2gt0cn  36133  ftc1anclem7  36157