MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const 25258
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itg2const
StepHypRef Expression
1 reex 11201 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
21a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โˆˆ V)
3 simpl3 1194 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
4 1re 11214 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
5 0re 11216 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
64, 5ifcli 4576 . . . . . . 7 if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„
76a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0) โˆˆ โ„)
8 fconstmpt 5739 . . . . . . 7 (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต)
98a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {๐ต}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐ต))
10 eqidd 2734 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))
112, 3, 7, 9, 10offval2 7690 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))))
12 ovif2 7507 . . . . . . 7 (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0))
13 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
14 elrege0 13431 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1513, 14sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
1615simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1716recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817mulridd 11231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1917mul01d 11413 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2018, 19ifeq12d 4550 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, (๐ต ยท 1), (๐ต ยท 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2112, 20eqtrid 2785 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
2221mpteq2dv 5251 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ต ยท if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
2311, 22eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))
2524i1f1 25207 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
26253adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2726, 16i1fmulc 25221 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) โˆˆ dom โˆซ1)
2823, 27eqeltrrd 2835 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1)
2915simprd 497 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
30 0le0 12313 . . . . . 6 0 โ‰ค 0
31 breq2 5153 . . . . . . 7 (๐ต = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
32 breq2 5153 . . . . . . 7 (0 = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
3331, 32ifboth 4568 . . . . . 6 ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3429, 30, 33sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
3534ralrimivw 3151 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
36 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„‚
3736a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โ„ โŠ† โ„‚)
3816adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
39 ifcl 4574 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4038, 5, 39sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
4140ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„)
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
4342fnmpt 6691 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) Fn โ„)
4537, 440pledm 25190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” (โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
465a1i 11 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
47 fconstmpt 5739 . . . . . . 7 (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0)
4847a1i 11 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โ„ ร— {0}) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
49 eqidd 2734 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
502, 46, 40, 48, 49ofrfval2 7691 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((โ„ ร— {0}) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5145, 50bitrd 279 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
5235, 51mpbird 257 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
53 itg2itg1 25254 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โˆˆ dom โˆซ1 โˆง 0๐‘ โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5428, 52, 53syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5526, 16itg1mulc 25222 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))))
5623fveq2d 6896 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜((โ„ ร— {๐ต}) โˆ˜f ยท (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
5724itg11 25208 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
58573adant3 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0))) = (volโ€˜๐ด))
5958oveq2d 7425 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐ต ยท (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, 1, 0)))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6055, 56, 593eqtr3d 2781 . 2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ1โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
6154, 60eqtrd 2773 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668   โˆ˜r cofr 7669  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245   โ‰ค cle 11249  [,)cico 13326  volcvol 24980  โˆซ1citg1 25132  โˆซ2citg2 25133  0๐‘c0p 25186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  itg2const2  25259  itg2gt0  25278  itg2cnlem2  25280  iblconst  25335  itgconst  25336  bddiblnc  25359  itg2gt0cn  36543  ftc1anclem7  36567
  Copyright terms: Public domain W3C validator