MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const 24347
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const
StepHypRef Expression
1 reex 10621 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ∈ V)
3 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 1re 10634 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
5 0re 10636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
64, 5ifcli 4474 . . . . . . 7 if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 1, 0) ∈ ℝ)
8 fconstmpt 5582 . . . . . . 7 (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵)
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐵))
10 eqidd 2802 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
112, 3, 7, 9, 10offval2 7410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0))))
12 ovif2 7235 . . . . . . 7 (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0)) = if(𝑥𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0))
13 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
14 elrege0 12836 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1513, 14sylib 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1615simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716recnd 10662 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817mulid1d 10651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
1917mul01d 10832 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · 0) = 0)
2018, 19ifeq12d 4448 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑥𝐴, (𝐵 · 1), (𝐵 · 0)) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
2112, 20syl5eq 2848 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0)) = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
2221mpteq2dv 5129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐵 · if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
2311, 22eqtrd 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
24 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))
2524i1f1 24297 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
26253adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) ∈ dom ∫1)
2726, 16i1fmulc 24310 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) ∈ dom ∫1)
2823, 27eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1)
2915simprd 499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
30 0le0 11730 . . . . . 6 0 ≤ 0
31 breq2 5037 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
32 breq2 5037 . . . . . . 7 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
3331, 32ifboth 4466 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3429, 30, 33sylancl 589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3534ralrimivw 3153 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
36 ax-resscn 10587 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ℝ ⊆ ℂ)
3816adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 ifcl 4472 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
4038, 5, 39sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
4140ralrimiva 3152 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
42 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
4342fnmpt 6464 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
4441, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) Fn ℝ)
4537, 440pledm 24280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
465a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
47 fconstmpt 5582 . . . . . . 7 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
49 eqidd 2802 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
502, 46, 40, 48, 49ofrfval2 7411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
5145, 50bitrd 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
5235, 51mpbird 260 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
53 itg2itg1 24343 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5428, 52, 53syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5526, 16itg1mulc 24311 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))))
5623fveq2d 6653 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘((ℝ × {𝐵}) ∘f · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
5724itg11 24298 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
58573adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0))) = (vol‘𝐴))
5958oveq2d 7155 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 · (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
6055, 56, 593eqtr3d 2844 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
6154, 60eqtrd 2836 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  dom cdm 5523   Fn wfn 6323  cfv 6328  (class class class)co 7139  f cof 7391  r cofr 7392  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  cle 10669  [,)cico 12732  volcvol 24070  1citg1 24222  2citg2 24223  0𝑝c0p 24276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-xmet 20087  df-met 20088  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226  df-itg1 24227  df-itg2 24228  df-0p 24277
This theorem is referenced by:  itg2const2  24348  itg2gt0  24367  itg2cnlem2  24369  iblconst  24424  itgconst  24425  bddiblnc  24448  itg2gt0cn  35105  ftc1anclem7  35129
  Copyright terms: Public domain W3C validator