Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem7 41852
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem7.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
21reximi 3084 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
32ss2abi 4062 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)}
4 abrexexg 7943 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V)
5 ssexg 5322 . . . . . . 7 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
76ralrimivw 3150 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
87adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
9 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
109fnmpt 6687 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
12 hbtlem.s . . . . . . 7 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
13 elex 3492 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
14 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = (Poly1β€˜π‘…))
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1614, 15eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = 𝑃)
1716fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = (LIdealβ€˜π‘ƒ))
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
1917, 18eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = π‘ˆ)
20 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ( deg1 β€˜π‘Ÿ) = ( deg1 β€˜π‘…))
2120fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—))
2221breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2423rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2524abbidv 2801 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
2625mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
2719, 26mpteq12dv 5238 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
28 df-ldgis 41849 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeq = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
2927, 28, 18mptfvmpt 7226 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3013, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3112, 30eqtrid 2784 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3231fveq1d 6890 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ))
33 rexeq 3321 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3433abbidv 2801 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
3534mpteq2dv 5249 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
36 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
37 nn0ex 12474 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
3837mptex 7221 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) ∈ V
3935, 36, 38fvmpt 6995 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4032, 39sylan9eq 2792 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4140fneq1d 6639 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0))
4211, 41mpbird 256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0)
43 hbtlem7.t . . . . 5 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
4415, 18, 12, 43hbtlem2 41851 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
45443expa 1118 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
4645ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
47 ffnfv 7114 . 2 ((π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡ ↔ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇))
4842, 46, 47sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  Ringcrg 20049  LIdealclidl 20775  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560  ldgIdlSeqcldgis 41848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-ldgis 41849
This theorem is referenced by:  hbt  41857
  Copyright terms: Public domain W3C validator