Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem7 42169
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem7.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
21reximi 3084 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
32ss2abi 4063 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)}
4 abrexexg 7949 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V)
5 ssexg 5323 . . . . . . 7 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
76ralrimivw 3150 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
87adantl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
9 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
109fnmpt 6690 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
12 hbtlem.s . . . . . . 7 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
13 elex 3492 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = (Poly1β€˜π‘…))
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1614, 15eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = 𝑃)
1716fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = (LIdealβ€˜π‘ƒ))
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
1917, 18eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = π‘ˆ)
20 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ( deg1 β€˜π‘Ÿ) = ( deg1 β€˜π‘…))
2120fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—))
2221breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2423rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2524abbidv 2801 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
2625mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
2719, 26mpteq12dv 5239 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
28 df-ldgis 42166 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeq = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
2927, 28, 18mptfvmpt 7232 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3013, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3112, 30eqtrid 2784 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3231fveq1d 6893 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ))
33 rexeq 3321 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3433abbidv 2801 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
3534mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
36 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
37 nn0ex 12482 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
3837mptex 7227 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) ∈ V
3935, 36, 38fvmpt 6998 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4032, 39sylan9eq 2792 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4140fneq1d 6642 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0))
4211, 41mpbird 256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0)
43 hbtlem7.t . . . . 5 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
4415, 18, 12, 43hbtlem2 42168 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
45443expa 1118 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
4645ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
47 ffnfv 7120 . 2 ((π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡ ↔ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇))
4842, 46, 47sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Ringcrg 20127  LIdealclidl 20928  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25793  ldgIdlSeqcldgis 42165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795  df-ldgis 42166
This theorem is referenced by:  hbt  42174
  Copyright terms: Public domain W3C validator