Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hbtlem7 42614
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem7.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
21reximi 3074 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
32ss2abi 4060 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)}
4 abrexexg 7963 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V)
5 ssexg 5323 . . . . . . 7 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
63, 4, 5sylancr 585 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
76ralrimivw 3140 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
87adantl 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
9 eqid 2725 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
109fnmpt 6694 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
12 hbtlem.s . . . . . . 7 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
13 elex 3482 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
14 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = (Poly1β€˜π‘…))
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1614, 15eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = 𝑃)
1716fveq2d 6898 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = (LIdealβ€˜π‘ƒ))
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
1917, 18eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = π‘ˆ)
20 fveq2 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ( deg1 β€˜π‘Ÿ) = ( deg1 β€˜π‘…))
2120fveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—))
2221breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2423rexbidv 3169 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2524abbidv 2794 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
2625mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
2719, 26mpteq12dv 5239 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
28 df-ldgis 42611 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeq = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
2927, 28, 18mptfvmpt 7238 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3013, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3112, 30eqtrid 2777 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3231fveq1d 6896 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ))
33 rexeq 3311 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3433abbidv 2794 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
3534mpteq2dv 5250 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
36 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
37 nn0ex 12508 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
3837mptex 7233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) ∈ V
3935, 36, 38fvmpt 7002 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4032, 39sylan9eq 2785 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4140fneq1d 6646 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0))
4211, 41mpbird 256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0)
43 hbtlem7.t . . . . 5 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
4415, 18, 12, 43hbtlem2 42613 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
45443expa 1115 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
4645ralrimiva 3136 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
47 ffnfv 7126 . 2 ((π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡ ↔ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇))
4842, 46, 47sylanbrc 581 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6542  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547   ≀ cle 11279  β„•0cn0 12502  Ringcrg 20177  LIdealclidl 21106  Poly1cpl1 22104  coe1cco1 22105   deg1 cdg1 26017  ldgIdlSeqcldgis 42610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-cnfld 21284  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-ldgis 42611
This theorem is referenced by:  hbt  42619
  Copyright terms: Public domain W3C validator