Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hbtlem7 41481
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
hbtlem.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
hbtlem.s 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
hbtlem7.t 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
hbtlem7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)

Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
21reximi 3088 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))
32ss2abi 4028 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)}
4 abrexexg 7898 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V)
5 ssexg 5285 . . . . . . 7 (({𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∧ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
76ralrimivw 3148 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
87adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V)
9 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
109fnmpt 6646 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
118, 10syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0)
12 hbtlem.s . . . . . . 7 𝑆 = (ldgIdlSeqβ€˜π‘…)
13 elex 3466 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
14 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = (Poly1β€˜π‘…))
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1614, 15eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Poly1β€˜π‘Ÿ) = 𝑃)
1716fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = (LIdealβ€˜π‘ƒ))
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘ƒ)
1917, 18eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) = π‘ˆ)
20 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ( deg1 β€˜π‘Ÿ) = ( deg1 β€˜π‘…))
2120fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) = (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—))
2221breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2322anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2423rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
2524abbidv 2806 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
2625mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
2719, 26mpteq12dv 5201 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
28 df-ldgis 41478 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeq = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜(Poly1β€˜π‘Ÿ)) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘Ÿ)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
2927, 28, 18mptfvmpt 7183 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3013, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (ldgIdlSeqβ€˜π‘…) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3112, 30eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})))
3231fveq1d 6849 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜πΌ) = ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ))
33 rexeq 3313 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))))
3433abbidv 2806 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})
3534mpteq2dv 5212 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
36 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))})) = (𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
37 nn0ex 12426 . . . . . . 7 β„•0 ∈ V
3837mptex 7178 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) ∈ V
3935, 36, 38fvmpt 6953 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑖 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝑖 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4032, 39sylan9eq 2797 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}))
4140fneq1d 6600 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘— ∈ 𝐼 ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 = ((coe1β€˜π‘—)β€˜π‘₯))}) Fn β„•0))
4211, 41mpbird 257 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0)
43 hbtlem7.t . . . . 5 𝑇 = (LIdealβ€˜π‘…)
4415, 18, 12, 43hbtlem2 41480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
45443expa 1119 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
4645ralrimiva 3144 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
47 ffnfv 7071 . 2 ((π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡ ↔ ((π‘†β€˜πΌ) Fn β„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 ((π‘†β€˜πΌ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑇))
4842, 46, 47sylanbrc 584 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘†β€˜πΌ):β„•0βŸΆπ‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501   ≀ cle 11197  β„•0cn0 12420  Ringcrg 19971  LIdealclidl 20647  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   deg1 cdg1 25432  ldgIdlSeqcldgis 41477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-cnfld 20813  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-ldgis 41478
This theorem is referenced by:  hbt  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator