Theorem lgs1 26069

Description: The Legendre symbol at 1. See definition in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgs1	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 1) = 1)

Proof of Theorem lgs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 13643	. . 3 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq2i 7175	. 2 ⊢ (𝐴 /L (1↑2)) = (𝐴 /L 1)
3		gcd1 15964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 1) = 1)
4		1nn 11720	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		lgssq2 26066	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 1) = 1) → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
6	4, 5	mp3an2 1450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 1) = 1) → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
7	3, 6	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
8	2, 7	eqtr3id 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 1) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7164  1c1 10609  ℕcn 11709  2c2 11764  ℤcz 12055  ↑cexp 13514   gcd cgcd 15930   /_L clgs 26022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106  df-phi 16196  df-pc 16267  df-lgs 26023

This theorem is referenced by:  lgsdirnn0  26072