Theorem lgs1 27279

Description: The Legendre symbol at 1. See definition in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lgs1	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 1) = 1)

Proof of Theorem lgs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 14102	. . 3 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq2i 7357	. 2 ⊢ (𝐴 /L (1↑2)) = (𝐴 /L 1)
3		gcd1 16439	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 1) = 1)
4		1nn 12136	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		lgssq2 27276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 1) = 1) → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
6	4, 5	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 1) = 1) → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
7	3, 6	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L (1↑2)) = 1)
8	2, 7	eqtr3id 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 1) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ↑cexp 13968   gcd cgcd 16405   /_L clgs 27232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-pc 16749  df-lgs 27233

This theorem is referenced by:  lgsdirnn0  27282