Theorem grtrif1o 48748

Description: Any bijection onto a triangle preserves the edges of the triangle. (Contributed by AV, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grtri.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grtri.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grtrif1o	⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtrif1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grtri.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grtri.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	grtriprop 48747	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
4		f1oeq3 6817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
5	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
6		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑦})
7	6	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
8	7	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
9		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
10	9	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
11	10	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
12		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
13	12	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
14	13	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16	15	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
17		3ancoma 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
18		prcom 4703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
19	18	eleq1i 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
20	19	3anbi3i 1177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
21	17, 20	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
22		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑧})
23	22	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
24	23	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
25		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
26	25	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
28		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
29	28	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
30	29	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
31	24, 27, 30	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
32	21, 31	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
33	16, 32	jaoi 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
34		3ancomb 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
35		prcom 4703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
36	35	eleq1i 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)
37	36	3anbi1i 1175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
38	34, 37	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
39		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑥})
40	39	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
41	40	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
42		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
43	42	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
44	43	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
45		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
46	45	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
47	46	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
48	41, 44, 47	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
49	38, 48	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
50		3anrot 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
52		prcom 4703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
53	52	eleq1i 2857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
54	51, 36, 53	3anbi123i 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	50, 54	sylbb1 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
56		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑧})
57	56	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58	57	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
59		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
60	59	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
61	60	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
62		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
63	62	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
64	63	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
65	58, 61, 64	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
66	55, 65	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
67	49, 66	jaoi 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
68		3anrot 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
70	53, 19, 69	3anbi123i 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
71	68, 70	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
72		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑥})
73	72	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
74	73	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
75		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
76	75	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
77	76	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
78		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
79	78	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
80	79	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
81	74, 77, 80	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
82	71, 81	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
83		3anrev 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
84	19, 53, 36	3anbi123i 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
85	83, 84	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
86		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑦})
87	86	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88	87	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
89		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
90	89	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
91	90	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
92		preq12 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
93	92	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
94	93	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
95	88, 91, 94	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
96	85, 95	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
97	82, 96	jaoi 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
98	33, 67, 97	3jaoi 1454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
99		f1of1 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
100		fvf1tp 13842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
101	99, 100	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
102	98, 101	syl11 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
103	102	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
104	5, 103	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
105	104	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
106	105	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))))
107	106	rexlimivv 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
108	107	rexlimivw 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
109	3, 108	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
110	109	imp 412	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  {cpr 4596  {ctp 4598  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  3c3 12314  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29383  Edgcedg 29434  GrTrianglescgrtri 48743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-3o 8464  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-grtri 48744

This theorem is used by:  grtriclwlk3  48751