Theorem grtrif1o 47954

Description: Any bijection onto a triangle preserves the edges of the triangle. (Contributed by AV, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grtri.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grtri.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grtrif1o	⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtrif1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grtri.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grtri.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	grtriprop 47953	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
4		f1oeq3 6808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
6		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑦})
7	6	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
8	7	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
9		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
10	9	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
11	10	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
12		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
13	12	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
14	13	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16	15	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
17		3ancoma 1097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
18		prcom 4708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
19	18	eleq1i 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
20	19	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
21	17, 20	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
22		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑧})
23	22	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
25		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
26	25	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
28		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
29	28	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
30	29	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
31	24, 27, 30	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
32	21, 31	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
33	16, 32	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
34		3ancomb 1098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
35		prcom 4708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
36	35	eleq1i 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)
37	36	3anbi1i 1157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
38	34, 37	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
39		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑥})
40	39	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
41	40	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
42		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
43	42	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
44	43	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
45		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
46	45	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
47	46	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
48	41, 44, 47	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
49	38, 48	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
50		3anrot 1099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
52		prcom 4708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
53	52	eleq1i 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
54	51, 36, 53	3anbi123i 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	50, 54	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
56		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑧})
57	56	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58	57	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
59		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
60	59	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
61	60	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
62		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
63	62	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
64	63	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
65	58, 61, 64	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
66	55, 65	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
67	49, 66	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
68		3anrot 1099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69		biid 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
70	53, 19, 69	3anbi123i 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
71	68, 70	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
72		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑥})
73	72	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
74	73	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
75		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
76	75	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
77	76	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
78		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
79	78	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
80	79	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
81	74, 77, 80	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
82	71, 81	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
83		3anrev 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
84	19, 53, 36	3anbi123i 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
85	83, 84	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
86		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑦})
87	86	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88	87	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
89		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
90	89	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
91	90	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
92		preq12 4711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
93	92	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
94	93	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
95	88, 91, 94	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
96	85, 95	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
97	82, 96	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
98	33, 67, 97	3jaoi 1430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
99		f1of1 6817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
100		fvf1tp 13806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
102	98, 101	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
103	102	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
104	5, 103	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
105	104	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
106	105	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))))
107	106	rexlimivv 3186	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
108	107	rexlimivw 3137	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
109	3, 108	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
110	109	imp 406	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {cpr 4603  {ctp 4605  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  2c2 12295  3c3 12296  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026  GrTrianglescgrtri 47949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-3o 8482  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-grtri 47950

This theorem is referenced by:  grtriclwlk3  47957