Theorem grtrif1o 48562

Description: Any bijection onto a triangle preserves the edges of the triangle. (Contributed by AV, 25-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grtri.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
grtri.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grtrif1o	⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtrif1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grtri.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		grtri.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	grtriprop 48561	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
4		f1oeq3 6800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
5	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 ↔ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧}))
6		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑦})
7	6	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
8	7	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
9		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
10	9	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
11	10	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
12		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
13	12	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
14	13	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
15	8, 11, 14	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
16	15	biimprd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
17		3ancoma 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
18		prcom 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
19	18	eleq1i 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
20	19	3anbi3i 1175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
21	17, 20	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
22		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑥, 𝑧})
23	22	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
24	23	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
25		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
26	25	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
27	26	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
28		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
29	28	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
30	29	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
31	24, 27, 30	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
32	21, 31	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
33	16, 32	jaoi 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
34		3ancomb 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
35		prcom 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
36	35	eleq1i 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)
37	36	3anbi1i 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
38	34, 37	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
39		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑥})
40	39	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
41	40	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
42		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑧})
43	42	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
44	43	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
45		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑧})
46	45	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
47	46	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
48	41, 44, 47	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
49	38, 48	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
50		3anrot 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
52		prcom 4694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
53	52	eleq1i 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
54	51, 36, 53	3anbi123i 1171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
55	50, 54	sylbb1 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
56		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑦, 𝑧})
57	56	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58	57	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
59		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
60	59	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
61	60	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
62		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
63	62	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
64	63	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
65	58, 61, 64	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
66	55, 65	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
67	49, 66	jaoi 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
68		3anrot 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
69		biid 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
70	53, 19, 69	3anbi123i 1171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
71	68, 70	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
72		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑥})
73	72	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
74	73	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
75		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑦})
76	75	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
77	76	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
78		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑥, 𝑦})
79	78	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
80	79	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
81	74, 77, 80	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
82	71, 81	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
83		3anrev 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
84	19, 53, 36	3anbi123i 1171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
85	83, 84	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
86		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → {(𝐹‘0), (𝐹‘1)} = {𝑧, 𝑦})
87	86	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88	87	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
89		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} = {𝑧, 𝑥})
90	89	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
91	90	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
92		preq12 4697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} = {𝑦, 𝑥})
93	92	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
94	93	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → ({(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
95	88, 91, 94	3anbi123d 1460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
96	85, 95	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
97	82, 96	jaoi 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
98	33, 67, 97	3jaoi 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))) → (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
99		f1of1 6809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
100		fvf1tp 13813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
101	99, 100	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑥 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑧) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑦 ∧ (𝐹‘1) = 𝑧 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑥 ∧ (𝐹‘2) = 𝑦) ∨ ((𝐹‘0) = 𝑧 ∧ (𝐹‘1) = 𝑦 ∧ (𝐹‘2) = 𝑥))))
102	98, 101	syl11 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
103	102	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
104	5, 103	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
105	104	3adant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
106	105	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → ((𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))))
107	106	rexlimivv 3207	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
108	107	rexlimivw 3162	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝑇 = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
109	3, 108	syl 18	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → (𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇 → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸)))
110	109	imp 411	1 ⊢ ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝐹:(0..^3)–1-1-onto→𝑇) → ({(𝐹‘0), (𝐹‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘0), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝐹‘1), (𝐹‘2)} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {cpr 4587  {ctp 4589  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089  2c2 12286  3c3 12287  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  Edgcedg 29306  GrTrianglescgrtri 48557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-3o 8443  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-grtri 48558

This theorem is referenced by:  grtriclwlk3  48565