Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grtriclwlk3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grtriclwlk3 47912
Description: A triangle induces a closed walk of length 3 . (Contributed by AV, 26-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
grtriclwlk3.t (𝜑𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
grtriclwlk3.p (𝜑𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇)
Assertion
Ref Expression
grtriclwlk3 (𝜑𝑃 ∈ (3 ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem grtriclwlk3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grtriclwlk3.p . . . . 5 (𝜑𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇)
2 f1ofn 6849 . . . . 5 (𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇𝑃 Fn (0..^3))
3 hashfn 14414 . . . . 5 (𝑃 Fn (0..^3) → (♯‘𝑃) = (♯‘(0..^3)))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑃) = (♯‘(0..^3)))
5 3nn0 12544 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
6 hashfzo0 14469 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
75, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
84, 7eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑃) = 3)
9 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇𝑃:(0..^3)⟶𝑇)
101, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0..^3)⟶𝑇)
11 grtriclwlk3.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1312grtrissvtx 47911 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Vtx‘𝐺))
1411, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ (Vtx‘𝐺))
1510, 14jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃:(0..^3)⟶𝑇𝑇 ⊆ (Vtx‘𝐺)))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑃:(0..^3)⟶𝑇𝑇 ⊆ (Vtx‘𝐺)))
17 fss 6752 . . . . . 6 ((𝑃:(0..^3)⟶𝑇𝑇 ⊆ (Vtx‘𝐺)) → 𝑃:(0..^3)⟶(Vtx‘𝐺))
18 iswrdi 14556 . . . . . 6 (𝑃:(0..^3)⟶(Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
1916, 17, 183syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
20 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) = 3 → ((♯‘𝑃) − 1) = (3 − 1))
21 3m1e2 12394 . . . . . . . . . . . 12 (3 − 1) = 2
2220, 21eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) = 3 → ((♯‘𝑃) − 1) = 2)
2322oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) = 3 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = (0..^2))
24 fzo0to2pr 13789 . . . . . . . . . 10 (0..^2) = {0, 1}
2523, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 3 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) = {0, 1})
2625eleq2d 2827 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 3 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1}))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ {0, 1}))
2811, 1jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3012, 29grtrif1o 47909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) ∧ 𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺)))
31 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
3228, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
34 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘0))
35 fv0p1e1 12389 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 0 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘1))
3634, 35preq12d 4741 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 0 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
3736eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
3833, 37imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
39 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺))
4028, 30, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺))
42 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑃𝑖) = (𝑃‘1))
43 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 1) = (1 + 1))
44 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
4543, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 1) = 2)
4645fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘2))
4742, 46preq12d 4741 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
4847eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4941, 48imbitrrid 246 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5038, 49jaoi 858 . . . . . . . 8 ((𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1) → ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
51 elpri 4649 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {0, 1} → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1))
5250, 51syl11 33 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑖 ∈ {0, 1} → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5327, 52sylbid 240 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) → {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5453ralrimiv 3145 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
55 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇 → (0..^3) ∈ V)
569, 55jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0..^3)–1-1-onto𝑇 → (𝑃:(0..^3)⟶𝑇 ∧ (0..^3) ∈ V))
57 fex 7246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃:(0..^3)⟶𝑇 ∧ (0..^3) ∈ V) → 𝑃 ∈ V)
581, 56, 573syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ V)
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → 𝑃 ∈ V)
60 lsw 14602 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ V → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)))
6222fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 3 → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘2))
6362adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑃‘((♯‘𝑃) − 1)) = (𝑃‘2))
6461, 63eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (lastS‘𝑃) = (𝑃‘2))
6564preq1d 4739 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)})
66 prcom 4732 . . . . . . . . . . 11 {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)}
6766eleq1i 2832 . . . . . . . . . 10 ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
6867biimpi 216 . . . . . . . . 9 ({(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
69683ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
7028, 30, 693syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
7170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
7265, 71eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
7319, 54, 723jca 1129 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
74 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → (♯‘𝑃) = 3)
7573, 74jca 511 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 3) → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑃) = 3))
768, 75mpdan 687 . 2 (𝜑 → ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑃) = 3))
77 3nn 12345 . . 3 3 ∈ ℕ
7812, 29isclwwlknx 30055 . . 3 (3 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (3 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑃) = 3)))
7977, 78mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ (3 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑃) = 3)))
8076, 79mpbird 257 1 (𝜑𝑃 ∈ (3 ClWWalksN 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  {cpr 4628   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064   ClWWalksN cclwwlkn 30043  GrTrianglescgrtri 47904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-3o 8508  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044  df-grtri 47905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator