Theorem haustsmsid 23966

Description: In a Hausdorff topological group, a finite sum sums to exactly the usual number with no extraneous limit points. By setting the topology to the discrete topology (which is Hausdorff), this theorem can be used to turn any tsums theorem into a Σ_g theorem, so that the infinite group sum operation can be viewed as a generalization of the finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
haustsmsid.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsmsid.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

Proof of Theorem haustsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		tsmsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmsid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmsid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		tsmsid.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsid 23965	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
9		haustsmsid.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		haustsmsid.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
11	1, 3, 4, 5, 6, 9, 10	haustsms2 23962	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)}))
12	8, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628   class class class wbr 5148  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  TopOpenctopn 17374  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  CMndccmn 19696  TopSpctps 22755  Hauscha 23133   tsums ctsu 23951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-haus 23140  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-tsms 23952

This theorem is referenced by:  taylpfval  26217  esumpfinval  33539  esumpfinvalf  33540