Theorem haustsmsid 24461

Description: In a Hausdorff topological group, a finite sum sums to exactly the usual number with no extraneous limit points. By setting the topology to the discrete topology (which is Hausdorff), this theorem can be used to turn any tsums theorem into a Σ_g theorem, so that the infinite group sum operation can be viewed as a generalization of the finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Revised by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsid.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
tsmsid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsid.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmsid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsid.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsid.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
haustsmsid.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsmsid.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsmsid	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

Proof of Theorem haustsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsid.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		tsmsid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmsid.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmsid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		tsmsid.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tsmsid 24460	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
9		haustsmsid.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		haustsmsid.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
11	1, 3, 4, 5, 6, 9, 10	haustsms2 24457	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)}))
12	8, 11	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = {(𝐺 Σg 𝐹)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4583   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9354  Basecbs 17388  TopOpenctopn 17593  0_gc0g 17611   Σ_g cgsu 17612  CMndccmn 19995  TopSpctps 23251  Hauscha 23627   tsums ctsu 24446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-haus 23634  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-tsms 24447

This theorem is used by:  taylpfval  26693  esumpfinval  34750  esumpfinvalf  34751