Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haustsms2 22739
 Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmscl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
haustsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h (𝜑𝐽 ∈ Haus)
Assertion
Ref Expression
haustsms2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 tsmscl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmscl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmscl.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
5 tsmscl.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
6 tsmscl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 haustsms.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8 haustsms.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8haustsms 22738 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
109adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11 eleq1 2900 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
1211moi2 3707 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
1312ancom2s 648 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
1413expr 459 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
151, 10, 1, 14syl21anc 835 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
16 velsn 4577 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
1715, 16syl6ibr 254 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ {𝑋}))
1817ssrdv 3973 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ {𝑋})
19 snssi 4735 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
2019adantl 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
2118, 20eqssd 3984 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
2221ex 415 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃*wmo 2616   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  TopOpenctopn 16689  CMndccmn 18900  TopSpctps 21534  Hauscha 21910   tsums ctsu 22728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-nei 21700  df-haus 21917  df-fil 22448  df-flim 22541  df-flf 22542  df-tsms 22729 This theorem is referenced by:  haustsmsid  22743  xrge0tsms  23436  xrge0tsmsd  30687
 Copyright terms: Public domain W3C validator