Theorem haustsms2 24263

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		tsmscl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmscl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmscl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmscl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmscl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8		haustsms.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	haustsms 24262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
12	11	moi2 3688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
13	12	ancom2s 662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
14	13	expr 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
15	1, 10, 1, 14	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
16		velsn 4610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
17	15, 16	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ {𝑋}))
18	17	ssrdv 3951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ {𝑋})
19		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
20	19	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
21	18, 20	eqssd 3962	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
22	21	ex 417	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃*wmo 2571   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  TopOpenctopn 17474  CMndccmn 19850  TopSpctps 23058  Hauscha 23434   tsums ctsu 24252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-nei 23224  df-haus 23441  df-fil 23972  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tsms 24253

This theorem is referenced by:  haustsmsid  24267  xrge0tsms  24961  xrge0tsmsd  33334