Theorem haustsms2 24456

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms2	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2		tsmscl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		tsmscl.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmscl.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		tsmscl.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		tsmscl.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
8		haustsms.h	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	haustsms 24455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
12	11	moi2 3674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
13	12	ancom2s 663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) → 𝑥 = 𝑋)
14	13	expr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
15	1, 10, 1, 14	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 = 𝑋))
16		velsn 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑋} ↔ 𝑥 = 𝑋)
17	15, 16	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ {𝑋}))
18	17	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ {𝑋})
19		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
20	19	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑋} ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
21	18, 20	eqssd 3948	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
22	21	ex 418	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2563   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592  CMndccmn 19994  TopSpctps 23250  Hauscha 23626   tsums ctsu 24445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-nei 23416  df-haus 23633  df-fil 24165  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tsms 24446

This theorem is used by:  haustsmsid  24460  xrge0tsms  25154  xrge0tsmsd  33634