MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haustsms2 24059
Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmscl.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
haustsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
haustsms.h (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Assertion
Ref Expression
haustsms2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))

Proof of Theorem haustsms2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 tsmscl.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 tsmscl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmscl.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
5 tsmscl.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 tsmscl.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
7 haustsms.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
8 haustsms.h . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8haustsms 24058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
109adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
11 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)))
1211moi2 3703 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) β†’ π‘₯ = 𝑋)
1312ancom2s 648 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))) β†’ π‘₯ = 𝑋)
1413expr 455 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ∧ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ = 𝑋))
151, 10, 1, 14syl21anc 836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ = 𝑋))
16 velsn 4640 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {𝑋} ↔ π‘₯ = 𝑋)
1715, 16imbitrrdi 251 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ {𝑋}))
1817ssrdv 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† {𝑋})
19 snssi 4807 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ {𝑋} βŠ† (𝐺 tsums 𝐹))
2019adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ {𝑋} βŠ† (𝐺 tsums 𝐹))
2118, 20eqssd 3990 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋})
2221ex 411 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2526   βŠ† wss 3939  {csn 4624  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17402  CMndccmn 19739  TopSpctps 22852  Hauscha 23230   tsums ctsu 24048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-nei 23020  df-haus 23237  df-fil 23768  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tsms 24049
This theorem is referenced by:  haustsmsid  24063  xrge0tsms  24768  xrge0tsmsd  32816
  Copyright terms: Public domain W3C validator