Theorem hlopp 29255

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 lie on opposite sides of a line 𝐴, then given a point 𝑍 on 𝐴, any point 𝑊 on the line (𝑋𝐿𝑍) opposite to 𝑌 lies on the half line (𝑍𝑋) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hlopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hlopp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlopp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlopp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hlopp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
hlopp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
hlopp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
hlopp.3	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
hlopp.4	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
hlopp	⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hlopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlopp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
2		hlopp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hlopp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlopp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hlopp.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hlopp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hlopp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		hlopp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		hlopp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
10	2, 4, 3, 6, 7, 9	tglnpt 29017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		hlopp.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
12	2, 4, 3, 6, 8, 10, 11	tglngne 29018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12	tgelrnln 29103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
14	2, 4, 3, 6, 13, 11	tglnpt 29017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		hlopp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlopp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 8, 15, 16	lnopp2hpgb 29246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌 ↔ 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋))
18	1, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
19	11	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
20	2, 4, 3, 6, 8, 10, 14, 19	colrot2 29028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊𝐿𝑋) ∨ 𝑊 = 𝑋))
21		hlopp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 3, 4, 6, 7, 14, 5, 8, 9, 20, 21	colhp 29253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴))
24	23	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  TarskiGcstrkg 28894  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  hlGchlg 29068  hpGchpg 29240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-trkgc 28915  df-trkgb 28916  df-trkgcb 28917  df-trkgld 28919  df-trkg 28920  df-cgrg 28979  df-leg 29051  df-hlg 29069  df-mir 29130  df-rag 29174  df-perpg 29176  df-hpg 29241

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29449