Theorem hlopp 29032

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 lie on opposite sides of a line 𝐴, then given a point 𝑍 on 𝐴, any point 𝑊 on the line (𝑋𝐿𝑍) opposite to 𝑌 lies on the half line (𝑍𝑋) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hlopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hlopp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlopp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlopp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hlopp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
hlopp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
hlopp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
hlopp.3	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
hlopp.4	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
hlopp	⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hlopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlopp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
2		hlopp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hlopp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlopp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hlopp.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hlopp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hlopp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		hlopp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		hlopp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
10	2, 4, 3, 6, 7, 9	tglnpt 28796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		hlopp.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
12	2, 4, 3, 6, 8, 10, 11	tglngne 28797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12	tgelrnln 28881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
14	2, 4, 3, 6, 13, 11	tglnpt 28796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		hlopp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlopp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 8, 15, 16	lnopp2hpgb 29023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌 ↔ 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋))
18	1, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
19	11	orcd 886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
20	2, 4, 3, 6, 8, 10, 14, 19	colrot2 28807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊𝐿𝑋) ∨ 𝑊 = 𝑋))
21		hlopp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 3, 4, 6, 7, 14, 5, 8, 9, 20, 21	colhp 29030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴))
24	23	simpld 499	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5110  {copab 5174  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  TarskiGcstrkg 28674  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  hlGchlg 28847  hpGchpg 29017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28695  df-trkgb 28696  df-trkgcb 28697  df-trkgld 28699  df-trkg 28700  df-cgrg 28758  df-leg 28830  df-hlg 28848  df-mir 28908  df-rag 28952  df-perpg 28954  df-hpg 29018

This theorem is referenced by:  quadcgrprlng  29194