Theorem hlopp 29132

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 lie on opposite sides of a line 𝐴, then given a point 𝑍 on 𝐴, any point 𝑊 on the line (𝑋𝐿𝑍) opposite to 𝑌 lies on the half line (𝑍𝑋) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hlopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hlopp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlopp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlopp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hlopp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
hlopp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
hlopp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
hlopp.3	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
hlopp.4	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
hlopp	⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hlopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlopp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
2		hlopp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hlopp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlopp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hlopp.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hlopp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hlopp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		hlopp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		hlopp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
10	2, 4, 3, 6, 7, 9	tglnpt 28894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		hlopp.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
12	2, 4, 3, 6, 8, 10, 11	tglngne 28895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12	tgelrnln 28980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
14	2, 4, 3, 6, 13, 11	tglnpt 28894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		hlopp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlopp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 8, 15, 16	lnopp2hpgb 29123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌 ↔ 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋))
18	1, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
19	11	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
20	2, 4, 3, 6, 8, 10, 14, 19	colrot2 28905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊𝐿𝑋) ∨ 𝑊 = 𝑋))
21		hlopp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 3, 4, 6, 7, 14, 5, 8, 9, 20, 21	colhp 29130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴))
24	23	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777  LineGclng 28778  hlGchlg 28945  hpGchpg 29117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkgld 28796  df-trkg 28797  df-cgrg 28856  df-leg 28928  df-hlg 28946  df-mir 29007  df-rag 29051  df-perpg 29053  df-hpg 29118

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29326