Theorem hlopp 29137

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 lie on opposite sides of a line 𝐴, then given a point 𝑍 on 𝐴, any point 𝑊 on the line (𝑋𝐿𝑍) opposite to 𝑌 lies on the half line (𝑍𝑋) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hlopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hlopp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlopp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlopp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hlopp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
hlopp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
hlopp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
hlopp.3	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
hlopp.4	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
hlopp	⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hlopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlopp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
2		hlopp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hlopp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlopp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hlopp.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hlopp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hlopp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		hlopp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		hlopp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
10	2, 4, 3, 6, 7, 9	tglnpt 28899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		hlopp.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
12	2, 4, 3, 6, 8, 10, 11	tglngne 28900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12	tgelrnln 28985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
14	2, 4, 3, 6, 13, 11	tglnpt 28899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		hlopp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlopp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 8, 15, 16	lnopp2hpgb 29128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌 ↔ 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋))
18	1, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
19	11	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
20	2, 4, 3, 6, 8, 10, 14, 19	colrot2 28910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊𝐿𝑋) ∨ 𝑊 = 𝑋))
21		hlopp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 3, 4, 6, 7, 14, 5, 8, 9, 20, 21	colhp 29135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴))
24	23	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5107  {copab 5171  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  TarskiGcstrkg 28776  Itvcitv 28782  LineGclng 28783  hlGchlg 28950  hpGchpg 29122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-trkgc 28797  df-trkgb 28798  df-trkgcb 28799  df-trkgld 28801  df-trkg 28802  df-cgrg 28861  df-leg 28933  df-hlg 28951  df-mir 29012  df-rag 29056  df-perpg 29058  df-hpg 29123

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29331