Theorem hlopp 29091

Description: If two points 𝑋 and 𝑌 lie on opposite sides of a line 𝐴, then given a point 𝑍 on 𝐴, any point 𝑊 on the line (𝑋𝐿𝑍) opposite to 𝑌 lies on the half line (𝑍𝑋) (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlopp.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlopp.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hlopp.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlopp.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hlopp.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlopp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlopp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
hlopp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
hlopp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
hlopp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
hlopp.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
hlopp.3	⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
hlopp.4	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
hlopp	⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑊,𝑎,𝑏,𝑡   𝑡,𝑋   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑡, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hlopp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlopp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑌)
2		hlopp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hlopp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlopp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hlopp.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hlopp.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hlopp.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		hlopp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		hlopp.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐴)
10	2, 4, 3, 6, 7, 9	tglnpt 28855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
11		hlopp.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
12	2, 4, 3, 6, 8, 10, 11	tglngne 28856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
13	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12	tgelrnln 28940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
14	2, 4, 3, 6, 13, 11	tglnpt 28855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		hlopp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlopp.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊𝑂𝑌)
17	2, 3, 4, 5, 6, 7, 14, 8, 15, 16	lnopp2hpgb 29082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑌 ↔ 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋))
18	1, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋)
19	11	orcd 887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
20	2, 4, 3, 6, 8, 10, 14, 19	colrot2 28866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑊𝐿𝑋) ∨ 𝑊 = 𝑋))
21		hlopp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
22	2, 3, 4, 6, 7, 14, 5, 8, 9, 20, 21	colhp 29089	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴)))
23	18, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋 ∧ ¬ 𝑊 ∈ 𝐴))
24	23	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊(𝐾‘𝑍)𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ∖ cdif 3905   class class class wbr 5114  {copab 5178  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  TarskiGcstrkg 28733  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  hlGchlg 28906  hpGchpg 29076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkgld 28758  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-leg 28889  df-hlg 28907  df-mir 28967  df-rag 29011  df-perpg 29013  df-hpg 29077

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29253