MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip1i 29598
Description: Equation 6.47 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip1i.a 𝐴𝑋
ip1i.b 𝐵𝑋
ip1i.c 𝐶𝑋
Assertion
Ref Expression
ip1i (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))

Proof of Theorem ip1i
StepHypRef Expression
1 ip1i.1 . 2 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 ip1i.2 . 2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
3 ip1i.4 . 2 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 ip1i.7 . 2 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
5 ip1i.9 . 2 𝑈 ∈ CPreHilOLD
6 ip1i.a . 2 𝐴𝑋
7 ip1i.b . 2 𝐵𝑋
8 ip1i.c . 2 𝐶𝑋
9 eqid 2738 . 2 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
10 ax-1cn 11068 . 2 1 ∈ ℂ
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ip1ilem 29597 1 (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6494  (class class class)co 7352  1c1 11011   + caddc 11013   · cmul 11015  -cneg 11345  2c2 12167   +𝑣 cpv 29356  BaseSetcba 29357   ·𝑠OLD cns 29358  normCVcnmcv 29361  ·𝑖OLDcdip 29471  CPreHilOLDccphlo 29583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-grpo 29264  df-ablo 29316  df-vc 29330  df-nv 29363  df-va 29366  df-ba 29367  df-sm 29368  df-0v 29369  df-nmcv 29371  df-dip 29472  df-ph 29584
This theorem is referenced by:  ip2i  29599  ipdirilem  29600
  Copyright terms: Public domain W3C validator