Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnr3 40102
 Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr3.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
islnr3 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Proof of Theorem islnr3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islnr3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 islnr3.u . . 3 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3 eqid 2798 . . 3 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
41, 2, 3islnr2 40101 . 2 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)))
5 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (mrCls‘𝑈) = (mrCls‘𝑈)
62, 3, 5mrcrsp 19997 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (mrCls‘𝑈))
76fveq1d 6648 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))
87eqeq2d 2809 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
98rexbidv 3256 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
109ralbidv 3162 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
111, 2lidlacs 19991 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (ACS‘𝐵))
1211biantrurd 536 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
1310, 12bitrd 282 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
145isnacs 39688 . . . 4 (𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
1513, 14bitr4di 292 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
1615pm5.32i 578 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝑈𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
174, 16bitri 278 1 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880  𝒫 cpw 4497  ‘cfv 6325  Fincfn 8495  Basecbs 16478  mrClscmrc 16849  ACScacs 16851  Ringcrg 19294  LIdealclidl 19939  RSpancrsp 19940  NoeACScnacs 39686  LNoeRclnr 40096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-nacs 39687  df-lfig 40055  df-lnm 40063  df-lnr 40097 This theorem is referenced by:  hbt  40117
 Copyright terms: Public domain W3C validator