Theorem islnr3 42888

Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnr3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islnr3	⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Proof of Theorem islnr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnr3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		islnr3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 42887	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)))
5		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝑈) = (mrCls‘𝑈)
6	2, 3, 5	mrcrsp 21242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (mrCls‘𝑈))
7	6	fveq1d 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))
8	7	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
9	8	rexbidv 3172	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
10	9	ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
11	1, 2	lidlacs 21235	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (ACS‘𝐵))
12	11	biantrurd 531	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
13	10, 12	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
14	5	isnacs 42473	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
15	13, 14	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
16	15	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
17	4, 16	bitri 274	1 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054  ∃wrex 3063   ∩ cin 3957  𝒫 cpw 4608  ‘cfv 6556  Fincfn 8978  Basecbs 17226  mrClscmrc 17609  ACScacs 17611  Ringcrg 20228  LIdealclidl 21207  RSpancrsp 21208  NoeACScnacs 42471  LNoeRclnr 42882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-int 4958  df-iun 5006  df-iin 5007  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-2o 8501  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-sets 17179  df-slot 17197  df-ndx 17209  df-base 17227  df-ress 17256  df-plusg 17292  df-mulr 17293  df-sca 17295  df-vsca 17296  df-ip 17297  df-0g 17469  df-mre 17612  df-mrc 17613  df-acs 17615  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18787  df-grp 18944  df-minusg 18945  df-sbg 18946  df-subg 19131  df-mgp 20130  df-ur 20177  df-ring 20230  df-subrg 20565  df-lmod 20850  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21209  df-rsp 21210  df-nacs 42472  df-lfig 42841  df-lnm 42849  df-lnr 42883

This theorem is referenced by:  hbt  42903