Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnr3 42539
Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
islnr3.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islnr3 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))

Proof of Theorem islnr3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islnr3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 islnr3.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . . 3 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 42538 . 2 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
5 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (mrClsβ€˜π‘ˆ) = (mrClsβ€˜π‘ˆ)
62, 3, 5mrcrsp 21136 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (RSpanβ€˜π‘…) = (mrClsβ€˜π‘ˆ))
76fveq1d 6899 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))
87eqeq2d 2739 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
98rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
109ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
111, 2lidlacs 21130 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅))
1211biantrurd 532 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))))
1310, 12bitrd 279 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))))
145isnacs 42124 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
1513, 14bitr4di 289 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
1615pm5.32i 574 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
174, 16bitri 275 1 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946  π’« cpw 4603  β€˜cfv 6548  Fincfn 8964  Basecbs 17180  mrClscmrc 17563  ACScacs 17565  Ringcrg 20173  LIdealclidl 21102  RSpancrsp 21103  NoeACScnacs 42122  LNoeRclnr 42533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-rsp 21105  df-nacs 42123  df-lfig 42492  df-lnm 42500  df-lnr 42534
This theorem is referenced by:  hbt  42554
  Copyright terms: Public domain W3C validator