Theorem islnr3 43272

Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnr3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islnr3	⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Proof of Theorem islnr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnr3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		islnr3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 43271	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)))
5		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝑈) = (mrCls‘𝑈)
6	2, 3, 5	mrcrsp 21187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (mrCls‘𝑈))
7	6	fveq1d 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))
8	7	eqeq2d 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
9	8	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
10	9	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
11	1, 2	lidlacs 21180	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (ACS‘𝐵))
12	11	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
13	10, 12	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
14	5	isnacs 42861	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
15	13, 14	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
16	15	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
17	4, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897  𝒫 cpw 4551  ‘cfv 6489  Fincfn 8879  Basecbs 17127  mrClscmrc 17493  ACScacs 17495  Ringcrg 20159  LIdealclidl 21152  RSpancrsp 21153  NoeACScnacs 42859  LNoeRclnr 43266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-0g 17352  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-lidl 21154  df-rsp 21155  df-nacs 42860  df-lfig 43225  df-lnm 43233  df-lnr 43267

This theorem is referenced by:  hbt  43287