Theorem islnr3 43733

Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnr3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islnr3	⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Proof of Theorem islnr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnr3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		islnr3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 43732	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)))
5		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝑈) = (mrCls‘𝑈)
6	2, 3, 5	mrcrsp 21348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (mrCls‘𝑈))
7	6	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))
8	7	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
9	8	rexbidv 3195	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
10	9	ralbidv 3194	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
11	1, 2	lidlacs 21340	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (ACS‘𝐵))
12	11	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
13	10, 12	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
14	5	isnacs 43326	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
15	13, 14	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
16	15	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
17	4, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912  𝒫 cpw 4567  ‘cfv 6537  Fincfn 8942  Basecbs 17268  mrClscmrc 17634  ACScacs 17636  Ringcrg 20314  LIdealclidl 21307  RSpancrsp 21308  NoeACScnacs 43324  LNoeRclnr 43727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-lidl 21309  df-rsp 21310  df-nacs 43325  df-lfig 43686  df-lnm 43694  df-lnr 43728

This theorem is referenced by:  hbt  43748