Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islnr3 42416
Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
islnr3.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
islnr3 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))

Proof of Theorem islnr3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islnr3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 islnr3.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . 3 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 42415 . 2 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (mrClsβ€˜π‘ˆ) = (mrClsβ€˜π‘ˆ)
62, 3, 5mrcrsp 21097 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (RSpanβ€˜π‘…) = (mrClsβ€˜π‘ˆ))
76fveq1d 6886 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))
87eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
98rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
109ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
111, 2lidlacs 21091 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅))
1211biantrurd 532 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))))
1310, 12bitrd 279 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦))))
145isnacs 42001 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅) ↔ (π‘ˆ ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((mrClsβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘¦)))
1513, 14bitr4di 289 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ↔ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
1615pm5.32i 574 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)π‘₯ = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
174, 16bitri 275 1 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ π‘ˆ ∈ (NoeACSβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942  π’« cpw 4597  β€˜cfv 6536  Fincfn 8938  Basecbs 17151  mrClscmrc 17534  ACScacs 17536  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21063  RSpancrsp 21064  NoeACScnacs 41999  LNoeRclnr 42410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-rsp 21066  df-nacs 42000  df-lfig 42369  df-lnm 42377  df-lnr 42411
This theorem is referenced by:  hbt  42431
  Copyright terms: Public domain W3C validator