Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnr2i 43105
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lnr2i.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
41, 2, 3islnr2 43103 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
6 eqeq1 2739 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁𝑔)))
76rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
87rspcva 3620 . . . 4 ((𝐼𝑈 ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
95, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐼𝑈𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
109ancoms 458 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
11 lnrring 43101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 21264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1413ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔)))
15 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4609 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
1715elpw 4609 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1814, 16, 173imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔)))
1918anim1d 611 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3979 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3979 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
23 pweq 4619 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁𝑔))
2423ineq1d 4227 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))
2524eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑁𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 570 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 296 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔))))
3231reximdv2 3162 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  Fincfn 8984  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  LIdealclidl 21234  RSpancrsp 21235  LNoeRclnr 43098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-lfig 43057  df-lnm 43065  df-lnr 43099
This theorem is referenced by:  hbtlem6  43118
  Copyright terms: Public domain W3C validator