Theorem lnr2i 40644

Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnr2i.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lnr2i	⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lnr2i.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		lnr2i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 40642	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
5	4	simprbi 500	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
6		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
7	6	rexbidv 3216	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
8	7	rspcva 3535	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
9	5, 8	sylan2 596	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
10	9	ancoms 462	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
11		lnrring 40640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 1	rspssid 20261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
13	11, 12	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
14	13	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔)))
15		vex 3412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
16	15	elpw 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
17	15	elpw 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
18	14, 16, 17	3imtr4g 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔)))
19	18	anim1d 614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20		elin 3882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21		elin 3882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
22	19, 20, 21	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
23		pweq 4529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁‘𝑔))
24	23	ineq1d 4126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))
25	24	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
26	25	imbi2d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))))
27	22, 26	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
28	27	imdistand 574	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29		ancom 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30		ancom 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
31	28, 29, 30	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔))))
32	31	reximdv2 3190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
33	32	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
34	10, 33	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  ‘cfv 6380  Fincfn 8626  Basecbs 16760  Ringcrg 19562  LIdealclidl 20207  RSpancrsp 20208  LNoeRclnr 40637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-lidl 20211  df-rsp 20212  df-lfig 40596  df-lnm 40604  df-lnr 40638

This theorem is referenced by:  hbtlem6  40657