Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnr2i 42540
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   π‘ˆ,𝑔
Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lnr2i.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 42538 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
6 eqeq1 2732 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
76rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
87rspcva 3607 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
95, 8sylan2 592 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
109ancoms 458 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
11 lnrring 42536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 21131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1311, 12sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1413ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”)))
15 vex 3475 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1715elpw 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1814, 16, 173imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”)))
1918anim1d 610 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin) β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
23 pweq 4617 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ 𝒫 𝐼 = 𝒫 (π‘β€˜π‘”))
2423ineq1d 4211 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))
2524eleq2d 2815 . . . . . . . 8 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 570 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)) β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)))
30 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 296 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”))))
3231reximdv2 3161 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603  β€˜cfv 6548  Fincfn 8963  Basecbs 17179  Ringcrg 20172  LIdealclidl 21101  RSpancrsp 21102  LNoeRclnr 42533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-lfig 42492  df-lnm 42500  df-lnr 42534
This theorem is referenced by:  hbtlem6  42553
  Copyright terms: Public domain W3C validator