Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnr2i 41472
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   π‘ˆ,𝑔

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lnr2i.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 41470 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
54simprbi 498 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
6 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
76rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
87rspcva 3582 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
95, 8sylan2 594 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
109ancoms 460 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
11 lnrring 41468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 20709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1311, 12sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1413ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”)))
15 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4569 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1715elpw 4569 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1814, 16, 173imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”)))
1918anim1d 612 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin) β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3931 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3931 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
23 pweq 4579 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ 𝒫 𝐼 = 𝒫 (π‘β€˜π‘”))
2423ineq1d 4176 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))
2524eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
2625imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 572 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)) β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 462 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)))
30 ancom 462 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 296 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”))))
3231reximdv2 3162 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3332adantr 482 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  Basecbs 17090  Ringcrg 19971  LIdealclidl 20647  RSpancrsp 20648  LNoeRclnr 41465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-lfig 41424  df-lnm 41432  df-lnr 41466
This theorem is referenced by:  hbtlem6  41485
  Copyright terms: Public domain W3C validator