Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnr2i 43128
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lnr2i.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
41, 2, 3islnr2 43126 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
6 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁𝑔)))
76rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
87rspcva 3620 . . . 4 ((𝐼𝑈 ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
95, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐼𝑈𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
109ancoms 458 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
11 lnrring 43124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 21246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1413ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔)))
15 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4604 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
1715elpw 4604 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1814, 16, 173imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔)))
1918anim1d 611 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3967 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
23 pweq 4614 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁𝑔))
2423ineq1d 4219 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))
2524eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑁𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 570 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 296 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔))))
3231reximdv2 3164 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cfv 6561  Fincfn 8985  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  LNoeRclnr 43121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-lfig 43080  df-lnm 43088  df-lnr 43122
This theorem is referenced by:  hbtlem6  43141
  Copyright terms: Public domain W3C validator