Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnr2i 41843
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   π‘ˆ,𝑔
Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lnr2i.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 41841 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
54simprbi 497 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
6 eqeq1 2736 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
76rexbidv 3178 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
87rspcva 3610 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
95, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
109ancoms 459 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
11 lnrring 41839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 20840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1413ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”)))
15 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4605 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1715elpw 4605 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1814, 16, 173imtr4g 295 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”)))
1918anim1d 611 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin) β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3963 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 295 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
23 pweq 4615 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ 𝒫 𝐼 = 𝒫 (π‘β€˜π‘”))
2423ineq1d 4210 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))
2524eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 571 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)) β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 461 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)))
30 ancom 461 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 295 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”))))
3231reximdv2 3164 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3332adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Ringcrg 20049  LIdealclidl 20775  RSpancrsp 20776  LNoeRclnr 41836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-lfig 41795  df-lnm 41803  df-lnr 41837
This theorem is referenced by:  hbtlem6  41856
  Copyright terms: Public domain W3C validator