Theorem lnr2i 43078

Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnr2i.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lnr2i	⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lnr2i.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		lnr2i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 43076	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
6		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
7	6	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
8	7	rspcva 3583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
9	5, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
10	9	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
11		lnrring 43074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 1	rspssid 21122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔)))
15		vex 3448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
16	15	elpw 4563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
17	15	elpw 4563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
18	14, 16, 17	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔)))
19	18	anim1d 611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20		elin 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21		elin 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
22	19, 20, 21	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
23		pweq 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁‘𝑔))
24	23	ineq1d 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))
25	24	eleq2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
26	25	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))))
27	22, 26	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
28	27	imdistand 570	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
31	28, 29, 30	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔))))
32	31	reximdv2 3143	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
34	10, 33	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  Basecbs 17155  Ringcrg 20118  LIdealclidl 21092  RSpancrsp 21093  LNoeRclnr 43071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-lfig 43030  df-lnm 43038  df-lnr 43072

This theorem is referenced by:  hbtlem6  43091