Theorem lnr2i 43562

Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnr2i.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lnr2i	⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lnr2i.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		lnr2i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 43560	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
5	4	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
6		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
7	6	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
8	7	rspcva 3563	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
9	5, 8	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
10	9	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
11		lnrring 43558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 1	rspssid 21226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
13	11, 12	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔)))
15		vex 3434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
16	15	elpw 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
17	15	elpw 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
18	14, 16, 17	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔)))
19	18	anim1d 612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20		elin 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21		elin 3906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
22	19, 20, 21	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
23		pweq 4556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁‘𝑔))
24	23	ineq1d 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))
25	24	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
26	25	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))))
27	22, 26	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
28	27	imdistand 570	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
31	28, 29, 30	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔))))
32	31	reximdv2 3148	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
34	10, 33	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6492  Fincfn 8886  Basecbs 17170  Ringcrg 20205  LIdealclidl 21196  RSpancrsp 21197  LNoeRclnr 43555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-rsp 21199  df-lfig 43514  df-lnm 43522  df-lnr 43556

This theorem is referenced by:  hbtlem6  43575