Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnr2i 41421
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lnr2i.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
41, 2, 3islnr2 41419 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
54simprbi 497 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
6 eqeq1 2740 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁𝑔)))
76rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
87rspcva 3579 . . . 4 ((𝐼𝑈 ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
95, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐼𝑈𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
109ancoms 459 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
11 lnrring 41417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 20691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1413ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔)))
15 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4564 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
1715elpw 4564 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1814, 16, 173imtr4g 295 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔)))
1918anim1d 611 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3926 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3926 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 295 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
23 pweq 4574 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁𝑔))
2423ineq1d 4171 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))
2524eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑁𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 571 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 461 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30 ancom 461 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 295 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔))))
3231reximdv2 3161 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3332adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cfv 6496  Fincfn 8882  Basecbs 17082  Ringcrg 19962  LIdealclidl 20629  RSpancrsp 20630  LNoeRclnr 41414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-subg 18923  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-lidl 20633  df-rsp 20634  df-lfig 41373  df-lnm 41381  df-lnr 41415
This theorem is referenced by:  hbtlem6  41434
  Copyright terms: Public domain W3C validator