Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnr2i 42408
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   π‘ˆ,𝑔
Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lnr2i.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
41, 2, 3islnr2 42406 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”))
6 eqeq1 2728 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ (𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
76rexbidv 3170 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
87rspcva 3602 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘– ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝑖 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
95, 8sylan2 592 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
109ancoms 458 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
11 lnrring 42404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 21091 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1311, 12sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1413ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”)))
15 vex 3470 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4599 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1715elpw 4599 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ↔ 𝑔 βŠ† (π‘β€˜π‘”))
1814, 16, 173imtr4g 296 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”)))
1918anim1d 610 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin) β†’ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3957 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3957 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
23 pweq 4609 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ 𝒫 𝐼 = 𝒫 (π‘β€˜π‘”))
2423ineq1d 4204 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))
2524eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 (π‘β€˜π‘”) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) β†’ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 570 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)) β†’ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)))
30 ancom 460 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) ↔ (𝐼 = (π‘β€˜π‘”) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 296 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”)) β†’ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (π‘β€˜π‘”))))
3231reximdv2 3156 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (π‘β€˜π‘”))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  β€˜cfv 6534  Fincfn 8936  Basecbs 17149  Ringcrg 20134  LIdealclidl 21061  RSpancrsp 21062  LNoeRclnr 42401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-lfig 42360  df-lnm 42368  df-lnr 42402
This theorem is referenced by:  hbtlem6  42421
  Copyright terms: Public domain W3C validator