Theorem lnr2i 40857

Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnr2i.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lnr2i	⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lnr2i.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		lnr2i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 40855	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
6		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
7	6	rexbidv 3225	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
8	7	rspcva 3550	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
9	5, 8	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
10	9	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
11		lnrring 40853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 1	rspssid 20407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
13	11, 12	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔)))
15		vex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
16	15	elpw 4534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
17	15	elpw 4534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
18	14, 16, 17	3imtr4g 295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔)))
19	18	anim1d 610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20		elin 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21		elin 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
22	19, 20, 21	3imtr4g 295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
23		pweq 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁‘𝑔))
24	23	ineq1d 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))
25	24	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
26	25	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))))
27	22, 26	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
28	27	imdistand 570	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
31	28, 29, 30	3imtr4g 295	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔))))
32	31	reximdv2 3198	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
34	10, 33	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  Basecbs 16840  Ringcrg 19698  LIdealclidl 20347  RSpancrsp 20348  LNoeRclnr 40850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351  df-rsp 20352  df-lfig 40809  df-lnm 40817  df-lnr 40851

This theorem is referenced by:  hbtlem6  40870