Theorem lnr2i 43128

Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnr2i.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lnr2i	⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lnr2i.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		lnr2i.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 43126	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔))
6		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
7	6	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
8	7	rspcva 3620	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑈 ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
9	5, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
10	9	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))
11		lnrring 43124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
12	3, 1	rspssid 21246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
13	11, 12	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
14	13	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔)))
15		vex 3484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
16	15	elpw 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
17	15	elpw 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁‘𝑔))
18	14, 16, 17	3imtr4g 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔)))
19	18	anim1d 611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20		elin 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21		elin 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
22	19, 20, 21	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
23		pweq 4614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁‘𝑔))
24	23	ineq1d 4219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))
25	24	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin)))
26	25	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁‘𝑔) ∩ Fin))))
27	22, 26	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
28	27	imdistand 570	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁‘𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
31	28, 29, 30	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁‘𝑔))))
32	31	reximdv2 3164	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
33	32	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔)))
34	10, 33	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁‘𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  LNoeRclnr 43121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-lfig 43080  df-lnm 43088  df-lnr 43122

This theorem is referenced by:  hbtlem6  43141