Theorem c0rhm 20505

Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rhm	⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4072	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
2	1	anim2i 618	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3		ringgrp 20213	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4		ringgrp 20213	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
8		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
9	6, 7, 8	c0ghm 20435	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	3, 5, 9	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
13	11, 7, 12	0ring1eq0 20504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
14	13	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
15	14	mpteq2dv 5180	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
17	8, 16	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18	ringmgp 20214	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
21	20	ringmgp 20214	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
23	18, 6	mgpbas 20120	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
24	20, 12	ringidval 20158	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
26	23, 24, 25	c0mhm 20434	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
27	19, 22, 26	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
28	17, 27	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
29	10, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
30	18, 20	isrhm 20452	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
31	2, 29, 30	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Mndcmnd 18696   MndHom cmhm 18743  Grpcgrp 18903   GrpHom cghm 19181  mulGrpcmgp 20115  1_rcur 20156  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443  NzRingcnzr 20483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-rhm 20446  df-nzr 20484

This theorem is referenced by:  zrtermoringc  20646