Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0rhm 44704
 Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
c0mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0 0 = (0g𝑇)
c0mhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
Assertion
Ref Expression
c0rhm ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm
StepHypRef Expression
1 eldifi 4057 . . 3 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
21anim2i 619 . 2 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3 ringgrp 19316 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4 ringgrp 19316 . . . . 5 (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6 c0mhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 c0mhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
8 c0mhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
96, 7, 8c0ghm 44703 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
103, 5, 9syl2an 598 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (1r𝑇) = (1r𝑇)
1311, 7, 120ring1eq0 44664 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r𝑇) = 0 )
1413eqcomd 2804 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r𝑇))
1514mpteq2dv 5130 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
1615adantl 485 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
178, 16syl5eq 2845 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
18 eqid 2798 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918ringmgp 19317 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20 eqid 2798 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
2120ringmgp 19317 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
221, 21syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
2318, 6mgpbas 19259 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2420, 12ringidval 19267 . . . . . 6 (1r𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇))
2623, 24, 25c0mhm 44702 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2719, 22, 26syl2an 598 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2817, 27eqeltrd 2890 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2910, 28jca 515 . 2 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
3018, 20isrhm 19490 . 2 (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
312, 29, 30sylanbrc 586 1 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3880   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  0gc0g 16725  Mndcmnd 17923   MndHom cmhm 17966  Grpcgrp 18115   GrpHom cghm 18368  mulGrpcmgp 19253  1rcur 19265  Ringcrg 19311   RingHom crh 19481  NzRingcnzr 20044 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mhm 17968  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-ghm 18369  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-rnghom 19484  df-nzr 20045 This theorem is referenced by:  zrtermoringc  44862
 Copyright terms: Public domain W3C validator