Theorem c0rhm 43687

Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0mhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rhm	⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4028	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
2	1	anim2i 616	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3		ringgrp 18997	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4		ringgrp 18997	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6		c0mhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		c0mhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
8		c0mhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
9	6, 7, 8	c0ghm 43686	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	3, 5, 9	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
13	11, 7, 12	0ring1eq0 43647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
14	13	eqcomd 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
15	14	mpteq2dv 5061	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
16	15	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
17	8, 16	syl5eq 2843	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
18		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18	ringmgp 18998	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
21	20	ringmgp 18998	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
23	18, 6	mgpbas 18940	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
24	20, 12	ringidval 18948	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
26	23, 24, 25	c0mhm 43685	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
27	19, 22, 26	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
28	17, 27	eqeltrd 2883	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
29	10, 28	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
30	18, 20	isrhm 19168	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
31	2, 29, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ∖ cdif 3860   ↦ cmpt 5045  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  0_gc0g 16547  Mndcmnd 17738   MndHom cmhm 17777  Grpcgrp 17866   GrpHom cghm 18101  mulGrpcmgp 18934  1_rcur 18946  Ringcrg 18992   RingHom crh 19159  NzRingcnzr 19724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-hash 13546  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-plusg 16412  df-0g 16549  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-ghm 18102  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-rnghom 19162  df-nzr 19725

This theorem is referenced by:  zrtermoringc  43845