Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0rhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0rhm 43687
Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
c0mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0 0 = (0g𝑇)
c0mhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
Assertion
Ref Expression
c0rhm ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm
StepHypRef Expression
1 eldifi 4028 . . 3 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
21anim2i 616 . 2 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3 ringgrp 18997 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4 ringgrp 18997 . . . . 5 (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6 c0mhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 c0mhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
8 c0mhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
96, 7, 8c0ghm 43686 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
103, 5, 9syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (1r𝑇) = (1r𝑇)
1311, 7, 120ring1eq0 43647 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r𝑇) = 0 )
1413eqcomd 2801 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r𝑇))
1514mpteq2dv 5061 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
1615adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵0 ) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
178, 16syl5eq 2843 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)))
18 eqid 2795 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1918ringmgp 18998 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20 eqid 2795 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
2120ringmgp 18998 . . . . . 6 (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
221, 21syl 17 . . . . 5 (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
2318, 6mgpbas 18940 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2420, 12ringidval 18948 . . . . . 6 (1r𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25 eqid 2795 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) = (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇))
2623, 24, 25c0mhm 43685 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2719, 22, 26syl2an 595 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥𝐵 ↦ (1r𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2817, 27eqeltrd 2883 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
2910, 28jca 512 . 2 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
3018, 20isrhm 19168 . 2 (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
312, 29, 30sylanbrc 583 1 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cdif 3860  cmpt 5045  cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  0gc0g 16547  Mndcmnd 17738   MndHom cmhm 17777  Grpcgrp 17866   GrpHom cghm 18101  mulGrpcmgp 18934  1rcur 18946  Ringcrg 18992   RingHom crh 19159  NzRingcnzr 19724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-hash 13546  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-plusg 16412  df-0g 16549  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-ghm 18102  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-rnghom 19162  df-nzr 19725
This theorem is referenced by:  zrtermoringc  43845
  Copyright terms: Public domain W3C validator