Theorem c0rhm 20510

Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0rhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0rhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0rhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rhm	⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4124	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
2	1	anim2i 615	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3		ringgrp 20215	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4		ringgrp 20215	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6		c0rhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		c0rhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
8		c0rhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
9	6, 7, 8	c0ghm 20437	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	3, 5, 9	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
13	11, 7, 12	0ring1eq0 20509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
14	13	eqcomd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
15	14	mpteq2dv 5246	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
16	15	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
17	8, 16	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
18		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18	ringmgp 20216	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
21	20	ringmgp 20216	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
23	18, 6	mgpbas 20117	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
24	20, 12	ringidval 20160	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
26	23, 24, 25	c0mhm 20436	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
27	19, 22, 26	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
28	17, 27	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
29	10, 28	jca 510	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
30	18, 20	isrhm 20454	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
31	2, 29, 30	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  0_gc0g 17447  Mndcmnd 18720   MndHom cmhm 18764  Grpcgrp 18921   GrpHom cghm 19200  mulGrpcmgp 20111  1_rcur 20158  Ringcrg 20210   RingHom crh 20445  NzRingcnzr 20488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-plusg 17272  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ghm 19201  df-cmn 19774  df-abl 19775  df-mgp 20112  df-rng 20130  df-ur 20159  df-ring 20212  df-rhm 20448  df-nzr 20489

This theorem is referenced by:  zrtermoringc  20647