Theorem c0rhm 44203

Description: The constant mapping to zero is a ring homomorphism from any ring to the zero ring. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
c0mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
c0mhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑇)
c0mhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0rhm	⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0rhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4103	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Ring)
2	1	anim2i 618	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring))
3		ringgrp 19302	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4		ringgrp 19302	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 𝑇 ∈ Grp)
6		c0mhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		c0mhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
8		c0mhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
9	6, 7, 8	c0ghm 44202	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
10	3, 5, 9	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
11		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
12		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
13	11, 7, 12	0ring1eq0 44163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (1r‘𝑇) = 0 )
14	13	eqcomd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → 0 = (1r‘𝑇))
15	14	mpteq2dv 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
16	15	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
17	8, 16	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)))
18		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
19	18	ringmgp 19303	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
20		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
21	20	ringmgp 19303	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
22	1, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing) → (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd)
23	18, 6	mgpbas 19245	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
24	20, 12	ringidval 19253	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
25		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇))
26	23, 24, 25	c0mhm 44201	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑇) ∈ Mnd) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
27	19, 22, 26	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (1r‘𝑇)) ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
28	17, 27	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))
29	10, 28	jca 514	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇))))
30	18, 20	isrhm 19473	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ Ring) ∧ (𝐻 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝐻 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MndHom (mulGrp‘𝑇)))))
31	2, 29, 30	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ (Ring ∖ NzRing)) → 𝐻 ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3933   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  Grpcgrp 18103   GrpHom cghm 18355  mulGrpcmgp 19239  1_rcur 19251  Ringcrg 19297   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19467  df-nzr 20031

This theorem is referenced by:  zrtermoringc  44361